<p style="padding-left: 30px;"><strong>1. Введение</strong></p>

<p id="text_content_item_1" class="docx-publication-h1">В этой статье речь пойдёт о численном решении задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Для определённости мы будем говорить о нахождении значений вектор-функции y(t) на отрезке [0,a] , удовлетворяющей условиям:</p>

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>

Вектор-функция <em>f</em> при этом предполагается достаточно гладкой.

Известные методы решения этой задачи, например, метод Рунге-Кутта и другие, описанные, например, в (Бахвалов, 1973; Меркулова, Михайлов, 2014) были разработаны применительно к ситуации, когда вычисления значений функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi></math> представляли определённую сложность, и требовалось минимизировать количество этих вычислений.

Для решения этой задачи имеется много методов, описанных, например, в (Бахвалов и др., 2003; Меркулова, Михайлов, 2014). Наиболее распространённым из них, пожалуй, можно считать метод Рунге-Кутта. Однако такие методы разрабатывались вначале применительно к «ручному счёту», а позднее – применительно к вычислительной технике малой производительности. При этом во многих важных для практических приложений задачах даже вычисление одного из значений функции <em><strong>f</strong></em> представляло определённую сложность. По этой причине указанные методы были ориентированы на минимизацию количества вычислений, необходимых для обеспечения заданной точности решения.

В настоящее время с появлением персональных компьютеров (ПК) ситуация изменилась. С одной стороны, круг объектов, поведение которых моделируется с помощью ОДУ, расширился, а для описания поведения одного и того же объекта используются различные ОДУ. Порой функция <em>f</em> зависит от скалярного или векторного параметра, значения которого требуется подобрать. В таких случаях возникает необходимость решать на ПК уравнение (1) с разными правыми частями. Чаще всего в этих целях используются электронные таблицы, в основном EXCEL. Однако стандартных программ для решения ОДУ в EXCEL нет. С другой стороны, вычисление значений каких-либо аналитически заданных функций, изменение дробления отрезка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>a</mi><mo>]</mo></math> на шаги и проведение итераций в EXCEL не представляет каких-либо сложностей. Однако при записи сложных формул в ячейки электронной таблицы нередко возникают ошибки, которые порой трудно обнаружить. В такой ситуации предпочтение должно отдаваться возможно более простым алгоритмам. Ниже предлагаются два метода, использующие такие алгоритмы.

В них отрезок <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>a</mi><mo>]</mo></math> разбивается на <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi></math> шагов длительности <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mi>N</mi></mrow></mrow></math> точками <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>i</mi><mi>h</mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>N</mi></mrow></mfenced></math> , и отыскиваются значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> , при которых возможно более точно удовлетворяются вытекающие из (1) условия:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>N</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>

Для большей наглядности далее будет рассмотрен только одномерный случай ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi></math> – скаляры) – все приводимые формулы в общем случае сохраняются. Двумерный случай мы рассматриваем на численном примере.

<p id="text_content_item_10" class="docx-publication-h1" style="padding-left: 30px;"><strong>2. Первый метод</strong></p>

Для приближённого вычисления интегралов в (2) можно было бы использовать какую-либо известную и достаточно простую квадратурную формулу. Пожалуй, наиболее подходящей здесь будет формула Симпсона, связывающая значения интеграла по отрезку со значениями подынтегральной функции в <strong>трёх</strong> точках – двух концах и середине отрезка:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow></munderover><mrow><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>≈</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>b</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>h</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced></mrow></mrow></math>

Если считать подынтегральную функцию достаточно гладкой, то ошибка этой формулы будет иметь порядок <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msup></math> .

Тогда при <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>></mo><mn>1</mn></math> равенства (2) можно было бы заменить следующими приближёнными равенствами:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>4</mn></mrow></mfenced></math>

Если бы такие равенства были справедливы при всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi></math> , это позволило бы определить значения всех <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> с ошибкой порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></math> . Однако для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> формула (4) не «работает». Казалось бы, здесь нужно воспользоваться другой формулой, связывающей интеграл по отрезку <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi>h</mi><mo>]</mo></math> со значениями <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> , однако любые такие формулы дают ошибку порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup></math> .

Чтобы исправить положение, предлагается использовать квадратурную формулу, дающую ошибку порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></math> , но использующую значения подынтегральной функции на <em>продолжении отрезка</em>:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></munderover><mrow><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi><mo>≈</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>5</mn><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>h</mi></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>.</mo></mrow></mrow></math>

При таком методе для определения значений функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> в точках <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> используется следующая система соотношений:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>5</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>3</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>N</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>5</mn></mrow></mfenced></math>

Для её решения в EXCEL вначале формируются три массива с элементами соответственно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0,1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>N</mi><mo>)</mo></math> .

Первый массив вначале заполняется какими-то начальными приближёнными значениями <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> . Например, можно положить все <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> . Другие способы выбора начального приближения указаны в (Мышенков, Мышенков, 2005).

Во второй массив записываются формулы для вычисления <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> по значениям <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> из первого массива.

Третий массив заполняется формулами (5) для вычисления новых значений переменных <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> <em> </em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>i</mi><mo>></mo><mn>0</mn><mo>)</mo></math> по ранее определённым значениям <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> .

После этого все <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> заменяются соответствующим значением <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi></mrow></mfenced></math> . (в каждую ячейку первого массива записывается ссылка на соответствующую ячейку третьего массива).

Изложенный метод, по сути, реализует последовательные итеративные расчеты по формулам:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>12</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn>5</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>8</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>≥</mo><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>≥</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>6</mn></mrow></mfenced></math>

Система (6) при этом решается в EXCEL автоматически путем выполнения итераций (их количество можно заранее ограничить). При не слишком больших шагах <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> итерационный процесс сходится, а решение получается достаточно точным. Используя метод, изложенный в (Пименов, 2014), можно показать, что ошибка в значениях<em> </em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> будет порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></math> . Для контроля точности, как это обычно и делается, проводится аналогичный расчёт с уменьшенным вдвое шагом <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> .

<strong>Пример 1</strong>. Уравнение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mrow><mn>2</mn><mi>y</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn>2,5</mn><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow></mrow></math> имеет решением <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mn>0,4</mn><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup></math> . Будем решать его предложенным методом на отрезке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>]</mo></math> с шагами разной длительности. Рассчитанные и точные значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> представлены в следующей табл. 1.

<p><strong>Таблица 1.</strong> Рассчитанные и точные значения <em>y</em>(<em>t</em>)</p> <table class="docx-publication-table"> <tbody align="center" valign="middle"> <tr> <td class="docx-publication-cell" rowspan="2" align="center"><em>t</em></td> <td class="docx-publication-cell" rowspan="2" align="center">Точные</td> <td class="docx-publication-cell" colspan="5" align="center">Длительность шага <em>h</em></td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,01</td> <td class="docx-publication-cell">0,02</td> <td class="docx-publication-cell">0,05</td> <td class="docx-publication-cell">0,1</td> <td class="docx-publication-cell">0,2</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,2</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1811</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,4</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,6</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7310</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,8</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1627</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7779</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,2</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6983</td> <td class="docx-publication-cell">3,6994</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,4</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1656</td> <td class="docx-publication-cell">5,1690</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,6</td> <td class="docx-publication-cell">7,7160</td> <td class="docx-publication-cell">7,7160</td> <td class="docx-publication-cell">7,7161</td> <td class="docx-publication-cell">7,7161</td> <td class="docx-publication-cell">7,7171</td> <td class="docx-publication-cell">7,7303</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,8</td> <td class="docx-publication-cell">12,7551</td> <td class="docx-publication-cell">12,7551</td> <td class="docx-publication-cell">12,7551</td> <td class="docx-publication-cell">12,7554</td> <td class="docx-publication-cell">12,7599</td> <td class="docx-publication-cell">12,8180</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">2</td> <td class="docx-publication-cell">25,0000</td> <td class="docx-publication-cell">25,0000</td> <td class="docx-publication-cell">25,0001</td> <td class="docx-publication-cell">25,0024</td> <td class="docx-publication-cell">25,0343</td> <td class="docx-publication-cell">25,4204</td> </tr> </tbody> </table>

Данный метод, в некотором смысле, близок к одному из неявных методов Адамса-Моултона (Меркулова, Михайлов, 2014, п. 11.6.2; Пименов, 2014; Atkinson, 2009), предназначенных для последовательного «безитерационного» нахождения значений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> . В нашем же варианте все <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> определяются итеративно и одновременно.

При недостаточно малом шаге <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> итеративной процесс может не сходиться, а в соответствующих ячейках таблицы появляются, например, чрезмерно большие числа. Выйти из положения можно, опираясь на следующие соображения.

Выберем некоторое число <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi></math> , лежащее между 0 и 1, и заменим последнюю из формул (6) на другую:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>p</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>p</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>N</mi></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>7</mn></mrow></mfenced></math>

Тогда новыми значениями <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> становятся не только что вычисленные значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , а средние взвешенные из ранее найденных значений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> и новых значений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> . Такой алгоритм (за счет увеличения количества итераций, что особой роли не играет) может обеспечить сходимость и при сравнительно больших <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> . Поэтому при появлении чрезмерно больших <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> достаточно будет только уменьшить <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>p</mi></math> .

Разумеется, предложенный метод применим и при решении задачи Коши для систем ОДУ. В этом случае формулы (6) сохраняются, но переменные <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi></math> надо рассматривать как вектора соответствующей размерности.

<strong>Пример 2</strong>. Решим на отрезке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>1</mn><mo>]</mo></math> систему уравнений:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mrow><mrow><mi>π</mi><mi>z</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><mrow><mrow><mi>π</mi><mi>y</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>,</mo><mi> </mi></mtd><mtd><mi>z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math>

Точным решением этой системы будет <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">sin</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mrow><mrow><mi>π</mi><mi>t</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>z</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><mrow><mi mathvariant="normal">cos</mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mrow><mrow><mi>π</mi><mi>t</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></mrow></math> . Результаты численного решения при разных шагах <em>h</em> представлены в табл. 2.

<p><strong>Таблица 2.</strong><strong> </strong>Рассчитанные и точные значения <em>y</em>(<em>t</em>) и <em>z</em>(<em>t</em>)</p> <table class="docx-publication-table"> <tbody align="center" valign="middle"> <tr> <td class="docx-publication-cell" rowspan="3"><em>t</em></td> <td class="docx-publication-cell" rowspan="2" colspan="2">Точные</td> <td class="docx-publication-cell" colspan="8">Длительность шага <em>h</em></td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell" colspan="2">0,01</td> <td class="docx-publication-cell" colspan="2">0,02</td> <td class="docx-publication-cell" colspan="2">0,05</td> <td class="docx-publication-cell" colspan="2">0,1</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell"><em>y</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>z</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>y</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>z</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>y</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>z</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>y</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>z</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>y</em></td> <td class="docx-publication-cell"><em>z</em></td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,1</td> <td class="docx-publication-cell">0,1564</td> <td class="docx-publication-cell">0,9877</td> <td class="docx-publication-cell">0,1546</td> <td class="docx-publication-cell">0,9880</td> <td class="docx-publication-cell">0,1517</td> <td class="docx-publication-cell">0,9883</td> <td class="docx-publication-cell">0,1470</td> <td class="docx-publication-cell">0,9892</td> <td class="docx-publication-cell">0,1328</td> <td class="docx-publication-cell">0,9899</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,2</td> <td class="docx-publication-cell">0,3090</td> <td class="docx-publication-cell">0,9511</td> <td class="docx-publication-cell">0,3072</td> <td class="docx-publication-cell">0,9517</td> <td class="docx-publication-cell">0,3054</td> <td class="docx-publication-cell">0,9524</td> <td class="docx-publication-cell">0,3000</td> <td class="docx-publication-cell">0,9542</td> <td class="docx-publication-cell">0,2908</td> <td class="docx-publication-cell">0,9570</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,3</td> <td class="docx-publication-cell">0,4540</td> <td class="docx-publication-cell">0,8910</td> <td class="docx-publication-cell">0,4523</td> <td class="docx-publication-cell">0,8920</td> <td class="docx-publication-cell">0,4497</td> <td class="docx-publication-cell">0,8928</td> <td class="docx-publication-cell">0,4455</td> <td class="docx-publication-cell">0,8958</td> <td class="docx-publication-cell">0,4322</td> <td class="docx-publication-cell">0,8994</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,4</td> <td class="docx-publication-cell">0,5878</td> <td class="docx-publication-cell">0,8090</td> <td class="docx-publication-cell">0,5863</td> <td class="docx-publication-cell">0,8103</td> <td class="docx-publication-cell">0,5848</td> <td class="docx-publication-cell">0,8116</td> <td class="docx-publication-cell">0,5801</td> <td class="docx-publication-cell">0,8154</td> <td class="docx-publication-cell">0,5722</td> <td class="docx-publication-cell">0,8213</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,5</td> <td class="docx-publication-cell">0,7071</td> <td class="docx-publication-cell">0,7071</td> <td class="docx-publication-cell">0,7058</td> <td class="docx-publication-cell">0,7087</td> <td class="docx-publication-cell">0,7036</td> <td class="docx-publication-cell">0,7100</td> <td class="docx-publication-cell">0,7005</td> <td class="docx-publication-cell">0,7148</td> <td class="docx-publication-cell">0,6890</td> <td class="docx-publication-cell">0,7209</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,6</td> <td class="docx-publication-cell">0,8090</td> <td class="docx-publication-cell">0,5878</td> <td class="docx-publication-cell">0,8080</td> <td class="docx-publication-cell">0,5896</td> <td class="docx-publication-cell">0,8069</td> <td class="docx-publication-cell">0,5914</td> <td class="docx-publication-cell">0,8037</td> <td class="docx-publication-cell">0,5967</td> <td class="docx-publication-cell">0,7979</td> <td class="docx-publication-cell">0,6052</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,7</td> <td class="docx-publication-cell">0,8910</td> <td class="docx-publication-cell">0,4540</td> <td class="docx-publication-cell">0,8902</td> <td class="docx-publication-cell">0,4560</td> <td class="docx-publication-cell">0,8886</td> <td class="docx-publication-cell">0,4576</td> <td class="docx-publication-cell">0,8870</td> <td class="docx-publication-cell">0,4638</td> <td class="docx-publication-cell">0,8782</td> <td class="docx-publication-cell">0,4717</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,8</td> <td class="docx-publication-cell">0,9511</td> <td class="docx-publication-cell">0,3090</td> <td class="docx-publication-cell">0,9506</td> <td class="docx-publication-cell">0,3111</td> <td class="docx-publication-cell">0,9501</td> <td class="docx-publication-cell">0,3133</td> <td class="docx-publication-cell">0,9486</td> <td class="docx-publication-cell">0,3196</td> <td class="docx-publication-cell">0,9457</td> <td class="docx-publication-cell">0,3300</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,9</td> <td class="docx-publication-cell">0,9877</td> <td class="docx-publication-cell">0,1564</td> <td class="docx-publication-cell">0,9876</td> <td class="docx-publication-cell">0,1587</td> <td class="docx-publication-cell">0,9866</td> <td class="docx-publication-cell">0,1604</td> <td class="docx-publication-cell">0,9868</td> <td class="docx-publication-cell">0,1675</td> <td class="docx-publication-cell">0,9812</td> <td class="docx-publication-cell">0,1763</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1,0000</td> <td class="docx-publication-cell">0,0000</td> <td class="docx-publication-cell">1,0002</td> <td class="docx-publication-cell">0,0023</td> <td class="docx-publication-cell">1,0004</td> <td class="docx-publication-cell">0,0045</td> <td class="docx-publication-cell">1,0008</td> <td class="docx-publication-cell">0,0113</td> <td class="docx-publication-cell">1,0011</td> <td class="docx-publication-cell">0,0226</td> </tr> </tbody> </table>

Нельзя не отметить и определённого недостатка предлагаемого метода. Известные методы решения ОДУ (скажем, «обычный» метод Рунге-Кутта) допускают выполнение расчётов с автоматически меняющимся шагом. При данном методе это сопряжено с определенными трудностями. Некоторым оправданием может служить то обстоятельство, что обычно требуется установить значения неизвестной функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo><mi> </mi></math> в заранее заданных равноотстоящих друг от друга точках. Данный метод как раз приспособлен именно для этих целей.

<p id="text_content_item_42" class="docx-publication-h1" style="padding-left: 30px;"><strong>3. Второй метод</strong></p>

Основная проблема, решаемая в первом методе, была связана с необходимостью более точной оценки значения функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi></math> в точке ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> , т.е. на начальном шаге алгоритма. Для её решения использовалось значение функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi></math> в точке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> , т.е. на следующем шаге. Между тем, эту проблему можно решить и иначе, если предварительно найти значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>)</mo></math> , пусть и с меньшей точностью. Реализовать эту идею можно следующим образом.

Допустим, что значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> известны точно. Тогда о функции <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> нам будут известны не только её значения в точках 0 и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> , но и значения её производной в этих точках <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>0</mn><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>h</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>h</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> . Построим теперь интерполяционный многочлен третьей степени <em>Y</em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> с такими же значениями функции и производной. Поскольку функция <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> достаточно гладкая, на отрезке <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>[</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi>h</mi><mo>]</mo></math> , ее отклонение от <em>Y</em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> будет порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></math> : <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>h</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>Y</mi><mo>(</mo><mi>h</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mi>O</mi><mo>(</mo><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mo>)</mo></math> .

Если теперь выписать уравнение <em>Y</em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></math> в явном виде и подставить в него <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>t</mi><mo>=</mo><mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></math> , мы получим:

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>Y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></mfrac><mi>h</mi><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>O</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>.</mo></math>

Теперь, зная <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> ,<em> </em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mo>(</mo><mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>,</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>)</mo></math> , можно рассчитать уточнённое значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>h</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∫</mo><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></munderover><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow></mrow></math> по формуле Симпсона, что даст ошибку порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msup></math> . Ситуация не изменится, даже если вначале значение <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> будет задано не точно, а с ошибкой порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></math> .

Если эту же самую процедуру повторять на следующих шагах, то возникает аналогичная (6) система соотношений для определения нужных нам значений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> и «вспомогательных» значений <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>)</mo></math> :

<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mi> </mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></mfrac><mi>h</mi><mo>;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mrow><mrow><mi>h</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mo>,</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>)</mo></mrow></mfenced><mo>;</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>N</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="|"><mrow><mn>8</mn></mrow></mfenced></math>

Значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> при этом будут найдены с ошибкой порядка <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup></math> .

<strong>Пример 3</strong>. Будем решать то же уравнение, что и в примере 1. Точные и рассчитанные данным методом при разных шагах значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced></math> представлены в следующей табл. 3.

<p><strong>Таблица 3.</strong> Рассчитанные и точные значения <em>y</em>(<em>t</em>)</p> <table class="docx-publication-table"> <tbody align="center" valign="middle"> <tr> <td class="docx-publication-cell" rowspan="2"><em>t</em></td> <td class="docx-publication-cell" rowspan="2">Точные</td> <td class="docx-publication-cell" colspan="5">Длительность шага <em>h</em></td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,01</td> <td class="docx-publication-cell">0,02</td> <td class="docx-publication-cell">0,05</td> <td class="docx-publication-cell">0,1</td> <td class="docx-publication-cell">0,2</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">1</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,2</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> <td class="docx-publication-cell">1,1815</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,4</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> <td class="docx-publication-cell">1,4172</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,6</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> <td class="docx-publication-cell">1,7313</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">0,8</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> <td class="docx-publication-cell">2,1626</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7778</td> <td class="docx-publication-cell">2,7777</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,2</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6982</td> <td class="docx-publication-cell">3,6981</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,4</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1653</td> <td class="docx-publication-cell">5,1651</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,6</td> <td class="docx-publication-cell">7,7160</td> <td class="docx-publication-cell">7,7160</td> <td class="docx-publication-cell">7,7161</td> <td class="docx-publication-cell">7,7160</td> <td class="docx-publication-cell">7,7160</td> <td class="docx-publication-cell">7,7153</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">1,8</td> <td class="docx-publication-cell">12,7551</td> <td class="docx-publication-cell">12,7551</td> <td class="docx-publication-cell">12,7551</td> <td class="docx-publication-cell">12,7551</td> <td class="docx-publication-cell">12,7549</td> <td class="docx-publication-cell">12,7517</td> </tr> <tr> <td class="docx-publication-cell">2</td> <td class="docx-publication-cell">25,0000</td> <td class="docx-publication-cell">25,0000</td> <td class="docx-publication-cell">25,0001</td> <td class="docx-publication-cell">24,9999</td> <td class="docx-publication-cell">24,9984</td> <td class="docx-publication-cell">24,9744</td> </tr> </tbody> </table>

Сравнение с табл. 1 показывает, что этот метод обеспечивает более высокую точность расчетов, правда, за счёт введения дополнительного массива, заполняемого формулами для вычисления значений переменных <em>w</em>_<em>i</em>.

Как и в первом методе, последнее равенство в (8) может быть заменено на (7), что удобно при сравнительно больших шагах <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>h</mi></math> . Однако данный метод, в отличие от первого, допускает расчёты и с автоматическим выбором шага.

<p id="text_content_item_55" class="docx-publication-h1" style="padding-left: 30px;"><strong>4. Заключение</strong></p>

Предложены два метода численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. В отличие от известных методов, в первом из них используется иное сочетание квадратурных формул, во втором –интерполяционный многочлен. Оба метода обеспечивают такой же порядок точности, что и известный метод Рунге-Кутта, но значительно проще при формировании соответствующих электронных таблиц в EXCEL.

Эти методы применимы также для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, а также некоторых интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.