Заметка об алгоритме локального поиска равновесия Нэша для игр с участием n лиц в мульти-матричных постановках

Устав Малков

doi:10.33276/S265838870017210-4

Главная>Выпуск 3-4>Заметка об алгоритме локального поиска равновесия Нэша для игр с участием n лиц в мульти-матричных постановках

Заметка об алгоритме локального поиска равновесия Нэша для игр с участием n лиц в мульти-матричных постановках

Оглавление

Аннотация Оценить Содержание публикации

Библиография Комментарии

Аннотация

Код статьи

S265838870017210-4-1

DOI

10.33276/S265838870017210-4

Тип публикации

Статья

Статус публикации

Опубликовано

Авторы

Устав Малков Связаться с автором

ORCID: 0000-0001-5958-3843

Должность: в.н.с.
Аффилиация: ЦЭМИ РАН
Адрес: Москва, Нахимовский проспект, 47

Выпуск

Том 4 Выпуск 3-4

Аннотация

Изучена эффективность использования алгоритма локального поиска (альпинизм) для поиска равновесия Нэша в играх с участием n лиц в мульти-матричных постановках с использованием программной среды Питон.

Ключевые слова

игра n лиц, мульти-матричная постановка, смешанные стратегии, равновесие Нэша, Python

Классификатор

Получено

10.01.2022

Дата публикации

11.01.2022

Всего подписок

Всего просмотров

917

Оценка читателей

0.0 (0 голосов)

Цитировать Скачать pdf

ГОСТ	Устав М. Заметка об алгоритме локального поиска равновесия Нэша для игр с участием n лиц в мульти-матричных постановках // Вестник ЦЭМИ РАН. – 2021. – T. 4. – Выпуск 3-4. URL: https://cemi.jes.su/s265838870017210-4-1/. DOI: 10.33276/S265838870017210-4
MLA	Malkov, Ustav "A Note: Nash Equilibrium Local Search Algorithm for n-Person Games in Multi-Matrix Settings." Herald of CEMI. 4.3-4 (2021). DOI: 10.33276/S265838870017210-4
APA	Malkov U. (2021). A Note: Nash Equilibrium Local Search Algorithm for n-Person Games in Multi-Matrix Settings. Herald of CEMI. vol. 4, no. 3-4 DOI: 10.33276/S265838870017210-4

Доступ к дополнительным сервисам

Дополнительные сервисы только на эту статью

Преимущества сервисов

100 руб. / 1.0 SU


1	Введение	<p style="padding-left: 30px;"><strong>Введение</strong></p> <p style="padding-left: 30px;"><strong>Введение</strong></p>

2	Поиск равновесия Нэша в играх с участием $n$ лиц можно рассматривать как задачу нелинейного программирования, которая, фиксируя стратегии всех игроков, кроме одного, превращается в задачу линейного программирования (LP). Решая эти задачи, последовательно, мы получаем алгоритм локального поиска (LS), который сходится к локальному минимуму. Этот алгоритм, называемый «альпинизмом», был предложен в [1] и успешно применен для поиска равновесия Нэша в двух-матричных играх [7]. Тот же подход (LS) применим для игр трех лиц как в общих [4], так и в мульти-матричных постановках [5]. И применим для игр с $n$ лицами.	Поиск равновесия Нэша в играх с участием <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц можно рассматривать как задачу нелинейного программирования, которая, фиксируя стратегии всех игроков, кроме одного, превращается в задачу линейного программирования (LP). Решая эти задачи, последовательно, мы получаем алгоритм локального поиска (LS), который сходится к локальному минимуму. Этот алгоритм, называемый «альпинизмом», был предложен в [1] и успешно применен для поиска равновесия Нэша в двух-матричных играх [7]. Тот же подход (LS) применим для игр трех лиц как в общих [4], так и в мульти-матричных постановках [5]. И применим для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лицами. Поиск равновесия Нэша в играх с участием <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц можно рассматривать как задачу нелинейного программирования, которая, фиксируя стратегии всех игроков, кроме одного, превращается в задачу линейного программирования (LP). Решая эти задачи, последовательно, мы получаем алгоритм локального поиска (LS), который сходится к локальному минимуму. Этот алгоритм, называемый «альпинизмом», был предложен в [1] и успешно применен для поиска равновесия Нэша в двух-матричных играх [7]. Тот же подход (LS) применим для игр трех лиц как в общих [4], так и в мульти-матричных постановках [5]. И применим для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лицами.

3	В этой статье мы исследуем эффективность рассмотренного подхода для поиска равновесия по Нэшу для игр с $n$ лицами в мульти-матричных постановках, предложенного в [5], где выигрыш каждого из участников конфликта представляет собой сумму $n - 1$ выигрышей к остальным игрокам (8), и игра полностью описывается $n (n - 1)$ матрицами. Поли-матричную игру с несколькими игроками можно представить, как совокупность биматричных игр, где игроки играют друг с другом попарно, а ищется коллективное равновесие. С помощью такой игры моделируются экономические конфликты на олигополистическом рынке с $n$ участниками, каждый из которых имеет конечное число стратегий [12].	В этой статье мы исследуем эффективность рассмотренного подхода для поиска равновесия по Нэшу для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лицами в мульти-матричных постановках, предложенного в [5], где выигрыш каждого из участников конфликта представляет собой сумму <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> выигрышей к остальным игрокам (8), и игра полностью описывается <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> матрицами. Поли-матричную игру с несколькими игроками можно представить, как совокупность биматричных игр, где игроки играют друг с другом попарно, а ищется коллективное равновесие. С помощью такой игры моделируются экономические конфликты на олигополистическом рынке с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> участниками, каждый из которых имеет конечное число стратегий [12]. В этой статье мы исследуем эффективность рассмотренного подхода для поиска равновесия по Нэшу для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лицами в мульти-матричных постановках, предложенного в [5], где выигрыш каждого из участников конфликта представляет собой сумму <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> выигрышей к остальным игрокам (8), и игра полностью описывается <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> матрицами. Поли-матричную игру с несколькими игроками можно представить, как совокупность биматричных игр, где игроки играют друг с другом попарно, а ищется коллективное равновесие. С помощью такой игры моделируются экономические конфликты на олигополистическом рынке с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> участниками, каждый из которых имеет конечное число стратегий [12].

4	Имеется пример такой постановки [13], где исследуется одна задача конкуренции между тремя основными банками Монголии в секторе крупного кредитования предприятий. Моделирование конфликта проводится с помощью аппарата поли-(гекса)матричных игр трех лиц, где рассматриваемая попарно конкуренция между всеми тремя банками во всех возможных стратегиях кредитования по разным процентным ставкам представляется в виде гекса-матричной игры с шестью матрицами, элементы которых представляют собой возможные объемы кредитов. Авторы этой работы нашли равновесие в рассмотренной модели, применяя идеи глобального поиска, используя четыре итерации глобального поиска, 68 – локального спуска и решив 443 задачи ЛП за пять секунд. В то же время рассматриваемый в данной статье алгоритм получил результат за один локальный поиск, решив при этом три задачи ЛП, и это все за сотую долю секунды.	Имеется пример такой постановки [13], где исследуется одна задача конкуренции между тремя основными банками Монголии в секторе крупного кредитования предприятий. Моделирование конфликта проводится с помощью аппарата поли-(гекса)матричных игр трех лиц, где рассматриваемая попарно конкуренция между всеми тремя банками во всех возможных стратегиях кредитования по разным процентным ставкам представляется в виде гекса-матричной игры с шестью матрицами, элементы которых представляют собой возможные объемы кредитов. Авторы этой работы нашли равновесие в рассмотренной модели, применяя идеи глобального поиска, используя четыре итерации глобального поиска, 68 – локального спуска и решив 443 задачи ЛП за пять секунд. В то же время рассматриваемый в данной статье алгоритм получил результат за один локальный поиск, решив при этом три задачи ЛП, и это все за сотую долю секунды. Имеется пример такой постановки [13], где исследуется одна задача конкуренции между тремя основными банками Монголии в секторе крупного кредитования предприятий. Моделирование конфликта проводится с помощью аппарата поли-(гекса)матричных игр трех лиц, где рассматриваемая попарно конкуренция между всеми тремя банками во всех возможных стратегиях кредитования по разным процентным ставкам представляется в виде гекса-матричной игры с шестью матрицами, элементы которых представляют собой возможные объемы кредитов. Авторы этой работы нашли равновесие в рассмотренной модели, применяя идеи глобального поиска, используя четыре итерации глобального поиска, 68 – локального спуска и решив 443 задачи ЛП за пять секунд. В то же время рассматриваемый в данной статье алгоритм получил результат за один локальный поиск, решив при этом три задачи ЛП, и это все за сотую долю секунды.

5	В каждой из выше приведенных публикаций описывается алгоритм и его программная реализация для конкретного количества игроков (трех, четырех и даже пяти). В данной работе предлагается алгоритм, при помощи программной реализации которого, можно решать игры с разным количеством участников (3, 4, 5, 6, 7).	В каждой из выше приведенных публикаций описывается алгоритм и его программная реализация для конкретного количества игроков (трех, четырех и даже пяти). В данной работе предлагается алгоритм, при помощи программной реализации которого, можно решать игры с разным количеством участников (3, 4, 5, 6, 7). В каждой из выше приведенных публикаций описывается алгоритм и его программная реализация для конкретного количества игроков (трех, четырех и даже пяти). В данной работе предлагается алгоритм, при помощи программной реализации которого, можно решать игры с разным количеством участников (3, 4, 5, 6, 7).

6	Поли-матричная игра трех лиц подробно изучена в [2, 5, 6]. В [5] приведена постановка мульти-матричной игры нескольких лиц. В данной работе описан алгоритм решения мульти-матричной игры нескольких лиц и проверена эффективность его работы.	Поли-матричная игра трех лиц подробно изучена в [2, 5, 6]. В [5] приведена постановка мульти-матричной игры нескольких лиц. В данной работе описан алгоритм решения мульти-матричной игры нескольких лиц и проверена эффективность его работы. Поли-матричная игра трех лиц подробно изучена в [2, 5, 6]. В [5] приведена постановка мульти-матричной игры нескольких лиц. В данной работе описан алгоритм решения мульти-матричной игры нескольких лиц и проверена эффективность его работы.

7	Предлагаемый алгоритм работает, что экспериментально подтверждено результатами тестовых расчетов, где лексикографически упорядоченным перебором стартовых точек (чистых стратегий игроков), применяя алгоритм локального поиска для поиска минимума функции Нэша, находим точку равновесия Нэша за приемлемое время в играх с тремя, четырьмя, пятью, шестью и семью игроками и до 20 стратегий.	Предлагаемый алгоритм работает, что экспериментально подтверждено результатами тестовых расчетов, где лексикографически упорядоченным перебором стартовых точек (чистых стратегий игроков), применяя алгоритм локального поиска для поиска минимума функции Нэша, находим точку равновесия Нэша за приемлемое время в играх с тремя, четырьмя, пятью, шестью и семью игроками и до 20 стратегий. Предлагаемый алгоритм работает, что экспериментально подтверждено результатами тестовых расчетов, где лексикографически упорядоченным перебором стартовых точек (чистых стратегий игроков), применяя алгоритм локального поиска для поиска минимума функции Нэша, находим точку равновесия Нэша за приемлемое время в играх с тремя, четырьмя, пятью, шестью и семью игроками и до 20 стратегий.

8	Если для общей постановки при вычислении выигрышей игроков участвуют $n$ мерные матрицы, и тем самым объем информации и время поиска равновесия катастрофически растет (в $m$ раз) при увеличении количества игроков и используемых $m$ стратегий, то в случае мульти-матричной постановки из-за существенно меньшего объема исходной информации удается работать с постановками игр с большим количеством игроков и стратегий. Так как объем информации при переходе к $n + 1$ игрокам растет в $(n + 1) / (n - 1)$ раз.	Если для общей постановки при вычислении выигрышей игроков участвуют <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mi> </mi></math> мерные матрицы, и тем самым объем информации и время поиска равновесия катастрофически растет (в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> раз) при увеличении количества игроков и используемых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> стратегий, то в случае мульти-матричной постановки из-за существенно меньшего объема исходной информации удается работать с постановками игр с большим количеством игроков и стратегий. Так как объем информации при переходе к <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> игрокам растет в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow><mo>/</mo><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> раз. Если для общей постановки при вычислении выигрышей игроков участвуют <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mi> </mi></math> мерные матрицы, и тем самым объем информации и время поиска равновесия катастрофически растет (в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> раз) при увеличении количества игроков и используемых <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> стратегий, то в случае мульти-матричной постановки из-за существенно меньшего объема исходной информации удается работать с постановками игр с большим количеством игроков и стратегий. Так как объем информации при переходе к <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></math> игрокам растет в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow><mo>/</mo><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mrow></mrow></math> раз.

9	Поэтому, если бы можно было решить игры для трех человек размером до 100 (т. е. до 100 стратегий на каждого игрока), то в случае игр для четырех игроков можно было бы получить решение только в разумные сроки для нескольких десятков стратегий. В цитируемых публикациях реализовали алгоритм локального поиска в виде отдельной программы для каждого количества игроков. Оказалось, что в случае мульти-матричной постановки можно создать одну программу для игр с $n$ игроками, например, в среде Python.	Поэтому, если бы можно было решить игры для трех человек размером до 100 (т. е. до 100 стратегий на каждого игрока), то в случае игр для четырех игроков можно было бы получить решение только в разумные сроки для нескольких десятков стратегий. В цитируемых публикациях реализовали алгоритм локального поиска в виде отдельной программы для каждого количества игроков. Оказалось, что в случае мульти-матричной постановки можно создать одну программу для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроками, например, в среде Python. Поэтому, если бы можно было решить игры для трех человек размером до 100 (т. е. до 100 стратегий на каждого игрока), то в случае игр для четырех игроков можно было бы получить решение только в разумные сроки для нескольких десятков стратегий. В цитируемых публикациях реализовали алгоритм локального поиска в виде отдельной программы для каждого количества игроков. Оказалось, что в случае мульти-матричной постановки можно создать одну программу для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроками, например, в среде Python.

10	В этой статье для игр с участием $n$ лиц мы описываем LS-алгоритм компактно при помощи формул (13), (14), (15), и все $n$ задач LP формируются и решаются последовательно c использованием одного и того же набора формул. В случае трех лиц пришлось описать для каждой задачи отдельный набор формул и отдельную процедуру в программной реализации. Такое представление алгоритма позволило компактно писать и реализовывать программы в средах Matlab и Python.	В этой статье для игр с участием <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц мы описываем LS-алгоритм компактно при помощи формул (13), (14), (15), и все <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> задач LP формируются и решаются последовательно c использованием одного и того же набора формул. В случае трех лиц пришлось описать для каждой задачи отдельный набор формул и отдельную процедуру в программной реализации. Такое представление алгоритма позволило компактно писать и реализовывать программы в средах Matlab и Python. В этой статье для игр с участием <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц мы описываем LS-алгоритм компактно при помощи формул (13), (14), (15), и все <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> задач LP формируются и решаются последовательно c использованием одного и того же набора формул. В случае трех лиц пришлось описать для каждой задачи отдельный набор формул и отдельную процедуру в программной реализации. Такое представление алгоритма позволило компактно писать и реализовывать программы в средах Matlab и Python.

11	Стало намного проще отлаживать программы, внося изменения в одном месте текста, а не в $n$ . Используемая нами мульти-матричная постановка игр $n$ лиц, представляет собой обобщение гекса-матричной постановки игр трех лиц, где таблицы выигрышей игроков определялись шестью матрицами. В нашем случае таблицы выигрышей $n$ игроков определяются $(n - 1) n$ матрицами.	Стало намного проще отлаживать программы, внося изменения в одном месте текста, а не в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> . Используемая нами мульти-матричная постановка игр <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц, представляет собой обобщение гекса-матричной постановки игр трех лиц, где таблицы выигрышей игроков определялись шестью матрицами. В нашем случае таблицы выигрышей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроков определяются <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></math> матрицами. Стало намного проще отлаживать программы, внося изменения в одном месте текста, а не в <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> . Используемая нами мульти-матричная постановка игр <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц, представляет собой обобщение гекса-матричной постановки игр трех лиц, где таблицы выигрышей игроков определялись шестью матрицами. В нашем случае таблицы выигрышей <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроков определяются <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></math> матрицами.

12	Собирая эти матрицы в одну блочную (14), мы можем представить саму игру $n$ -лиц и алгоритм локального поиска равновесия Нэша в компактной форме. В этом случае игры $n$ -лиц, как задачи нелинейного программирования, становятся задачами квадратичного программирования с линейными условиями.	Собирая эти матрицы в одну блочную (14), мы можем представить саму игру <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -лиц и алгоритм локального поиска равновесия Нэша в компактной форме. В этом случае игры <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -лиц, как задачи нелинейного программирования, становятся задачами квадратичного программирования с линейными условиями. Собирая эти матрицы в одну блочную (14), мы можем представить саму игру <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -лиц и алгоритм локального поиска равновесия Нэша в компактной форме. В этом случае игры <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -лиц, как задачи нелинейного программирования, становятся задачами квадратичного программирования с линейными условиями.

13	Имеется несколько других подходов к решению игр для четырех лиц [9, 10], в том числе постановка с несколькими матрицами (трипло), где таблицы выигрышей игроков определяются 12 трехмерными таблицами. Эти подходы используют алгоритм глобальной оптимизации.	Имеется несколько других подходов к решению игр для четырех лиц [9, 10], в том числе постановка с несколькими матрицами (трипло), где таблицы выигрышей игроков определяются 12 трехмерными таблицами. Эти подходы используют алгоритм глобальной оптимизации. Имеется несколько других подходов к решению игр для четырех лиц [9, 10], в том числе постановка с несколькими матрицами (трипло), где таблицы выигрышей игроков определяются 12 трехмерными таблицами. Эти подходы используют алгоритм глобальной оптимизации.

14	Игра n лиц в общей постановке	<p style="padding-left: 30px;"><strong>Игра </strong>n <strong> лиц в общей постановке</strong></p> <p style="padding-left: 30px;"><strong>Игра </strong>n <strong> лиц в общей постановке</strong></p>

15	Конечная бескоалиционная игра $n$ лиц $Γ$ определяется множествами $X_{1}, \dots, X_{n}$ стратегий $n$ игроков и их функциями выигрышей, заданными на компактном множестве $X = X_{1} \times \dots \times X_{n}$ евклидова пространства $E^{M}$ , где для $r \in I = {1, \dots, n}$ стратегии $x_{r} \in X_{r} \subset E^{m_{r}}$ имеют размеры $m_{1}, \dots, m_{n}$ , вектор $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in E^{M}$ , $M = m_{1} + \dots + m_{n}$ :	Конечная бескоалиционная игра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi></math> определяется множествами <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроков и их функциями выигрышей, заданными на компактном множестве <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><mo>⋯</mo><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> евклидова пространства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msup></math> , где для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>}</mo></math> стратегии <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>⊂</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msup></math> имеют размеры <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> , вектор <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> : Конечная бескоалиционная игра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Γ</mi></math> определяется множествами <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроков и их функциями выигрышей, заданными на компактном множестве <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>X</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><mo>⋯</mo><mo>×</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> евклидова пространства <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msup></math> , где для <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>=</mo><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>}</mo></math> стратегии <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>⊂</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msup></math> имеют размеры <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> , вектор <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msup></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>M</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> :

16	$X_{r} = \{x_{r} = (x_{1}^{r}, \dots, x_{m_{r}}^{r}) \in E^{m_{r}} : 〈x_{r}, e_{m_{r}}〉 = \sum_{p = 1}^{m_{r}} ‍ x_{p}^{r} = 1, x_{r} \geq o_{m_{r}}\}, (1)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi></mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi></mi><mo>=</mo><mi></mi><mfenced separators="\|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>:</mo><mi> </mi><mi> </mi><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mi></mi><mo>=</mo><mi></mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi></mi><mo>=</mo><mi></mi><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi></mi><mo>≥</mo><mi></mi><msub><mrow><mi>o</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi></mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi></mi><mo>=</mo><mi></mi><mfenced separators="\|"><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msup><mo>:</mo><mi> </mi><mi> </mi><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mi></mi><mo>=</mo><mi></mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>p</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi></mi><mo>=</mo><mi></mi><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi></mi><mo>≥</mo><mi></mi><msub><mrow><mi>o</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced></math>

17	$f^{r} (x) = f^{r} (x_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{p_{1} = 1}^{m_{1}} ‍ \dots \sum_{p_{n} = 1}^{m_{n}} ‍ A_{p_{1} \dots p_{n}}^{r} x_{p_{1}}^{1} \dots x_{p_{n}}^{n}, (2)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced></math>

18	$f (x) = f {(x}_{1}, \dots, x_{n}) = \sum_{p_{1} = 1}^{m_{1}} ‍ \dots \sum_{p_{n} = 1}^{m_{n}} ‍ A_{p_{1} \dots p_{n}} x_{p_{1}}^{1} \dots x_{p_{n}}^{n}, (3)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋯</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>f</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>f</mi><msub><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>⋯</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced></math>

19	$A_{p_{1} \dots p_{n}}^{r}$ — $n$ -мерная таблица выигрышей игрока $r$ ( $r \in I$ и $A_{p_{1} \dots p_{n}} = \sum_{r = 1}^{n} ‍ A_{p_{1} \dots p_{n}}^{r}$ ) для любого целого числа $q > 0$ векторы $e_{q} = (1, \dots, 1) \in E^{q}$ и $o_{m} = (0, \dots, 0) \in E^{q}$ .	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -мерная таблица выигрышей игрока <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> ) для любого целого числа <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> векторы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msup></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>o</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msup></math> . <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> — <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -мерная таблица выигрышей игрока <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> ) для любого целого числа <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi><mo>></mo><mn>0</mn></math> векторы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msup></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>o</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mn>0</mn><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msup></math> .

20	Введем функцию (показатель) Нэша $N (x) = \sum_{r = 1}^{n} ‍ N^{r} (x)$ ,	Введем функцию (показатель) Нэша <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> , Введем функцию (показатель) Нэша <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mrow><msubsup><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> ,

21	$N^{r} (x) = \underset{x_{r} \in X_{r}}{m a x} f^{r} (x_{1}, \dots, x_{r - 1}, x_{r}, x_{r + 1}, \dots, x_{n}) - f^{r} (x_{1}, \dots, x_{n}), r \in I . (4)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munder><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>4</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munder><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>4</mn></mrow></mfenced></math>

22	Для всех стратегий $x \in X$ выполняется неравенство $N (x) \geq 0$ , и для любой точки равновесия $x^{} \in X$ должно соблюдаться условие $N (x^{}) = 0$ .	Для всех стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></math> выполняется неравенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> , и для любой точки равновесия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msup><mo>∈</mo><mi>X</mi></math> должно соблюдаться условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mfenced separators="\|"><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math> . Для всех стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></math> выполняется неравенство <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>≥</mo><mn>0</mn></math> , и для любой точки равновесия <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msup><mo>∈</mo><mi>X</mi></math> должно соблюдаться условие <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mfenced separators="\|"><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn></math> .

23	Локальный поиск минимума функции Нэша сводится к итеративному процессу, где на каждой итерации последовательно (одна за другой) решаются $n$ задач линейного программирования (ЛП).	Локальный поиск минимума функции Нэша сводится к итеративному процессу, где на каждой итерации последовательно (одна за другой) решаются <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> задач линейного программирования (ЛП). Локальный поиск минимума функции Нэша сводится к итеративному процессу, где на каждой итерации последовательно (одна за другой) решаются <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> задач линейного программирования (ЛП).

24	Для произвольного вектора $x \in X$ фиксируем значения всех «координат» $x_{i} = {\bar{x}}_{i}$ , $i \in I$ , кроме $i = r$ . Определим множество	Для произвольного вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></math> фиксируем значения всех «координат» <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi></math> , кроме <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>r</mi></math> . Определим множество Для произвольного вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></math> фиксируем значения всех «координат» <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> , <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi></math> , кроме <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>r</mi></math> . Определим множество

25	$I \ r = \{s_{1}, \dots, s_{n - 1}\} = \{\begin{array}{l} {2,3, \dots, n}, & r = 1, \\ {1,2, \dots, n - 1}, & r = n, \\ {1, \dots, r - 1, r + 1, \dots, n}, & 1 < r < n; \end{array} I = \{I \ r\} \cup r .$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>{</mo><mn>2,3</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>}</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>{</mo><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>r</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>}</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mn>1</mn><mo><</mo><mi>r</mi><mo><</mo><mi>n</mi><mo>;</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>∪</mo><mi>r</mi><mo>.</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="\|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>{</mo><mn>2,3</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>}</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>{</mo><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>}</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>r</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>{</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>}</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mn>1</mn><mo><</mo><mi>r</mi><mo><</mo><mi>n</mi><mo>;</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>∪</mo><mi>r</mi><mo>.</mo></math>

26	Тогда значение показателя $N (x)$ как функции от $x_{r}$ может быть уменьшено (по крайней мере не увеличено) после решения задачи ЛП $P^{r} ({\bar{x}}_{1}, \dots, {\bar{x}}_{r - 1}, x_{r}, {\bar{x}}_{r + 1}, \dots, {\bar{x}}_{n})$ :	Тогда значение показателя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> как функции от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> может быть уменьшено (по крайней мере не увеличено) после решения задачи ЛП <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> : Тогда значение показателя <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> как функции от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> может быть уменьшено (по крайней мере не увеличено) после решения задачи ЛП <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo></math> :

27	$\sum_{p_{r} = 1}^{m_{r}} ‍ (\sum_{p_{s_{1}} = 1}^{m_{s_{1}}} ‍ \dots \sum_{p_{s_{n - 1}} = 1}^{m_{s_{n - 1}}} ‍ A_{p_{r} p_{s_{1}} \dots p_{s_{n - 1}}} {\bar{x}}_{p_{s_{1}}}^{s_{1}} \dots {\bar{x}}_{p_{s_{n - 1}}}^{s_{n - 1}}) x_{p_{r}}^{r} - \sum_{u \in I \ r} ‍ α_{u}^{r} ↑ \underset{x_{r}, α_{u}^{r}}{m a x} (5)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mi> </mi><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mi> </mi><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>↑</mo><mi> </mi><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>5</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mi> </mi><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mi> </mi><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>↑</mo><mi> </mi><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>5</mn></mrow></mfenced></math>

28	при ограничениях	при ограничениях при ограничениях

29	$\sum_{p_{r} = 1}^{m_{r}} ‍ (\sum_{p_{t_{1}} = 1}^{m_{t_{1}}} ‍ \dots \sum_{p_{t_{n - 2}} = 1}^{m_{t_{n - 2}}} ‍ A_{p_{u} p_{r} p_{t_{1}} \dots p_{t_{n - 2}}}^{r} {\bar{x}}_{p_{t_{1}}}^{t_{1}} \dots {\bar{x}}_{p_{t_{n - 2}}}^{t_{n - 2}}) x_{p_{r}}^{r} \leq α_{u}^{r}, t = s \ u, u \in I \ r, (6)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mi> </mi><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>\</mo><mi>u</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>6</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mfenced separators="\|"><mrow><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><mi> </mi><mo>⋯</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></munderover><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mo>⋯</mo><msubsup><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mi> </mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>s</mi><mo>\</mo><mi>u</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>6</mn></mrow></mfenced></math>

30	$〈x_{r}, e_{m_{r}}〉 = 1, x_{r} \geq o_{m_{r}}, α_{u}^{r} \in E^{1}, u \in I \ r . (7)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>o</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>7</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>o</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">E</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>7</mn></mrow></mfenced></math>

31	Для полученного оптимального плана $x_{r}^{*}$ задачи (5)–(7) и произвольного вектора $x_{r} \in X_{r}$ выполняется неравенство	Для полученного оптимального плана <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msubsup></math> задачи (5)–(7) и произвольного вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> выполняется неравенство Для полученного оптимального плана <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msubsup></math> задачи (5)–(7) и произвольного вектора <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> выполняется неравенство

32	$0 \leq N ({\bar{x}}_{1}, \dots, {\bar{x}}_{r - 1}, x_{r}^{*}, {\bar{x}}_{r + 1}, \dots, {\bar{x}}_{n}) \leq N ({\bar{x}}_{1}, \dots, {\bar{x}}_{r - 1}, x_{r}, {\bar{x}}_{r + 1}, \dots, {\bar{x}}_{n}) .$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal"></mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>≤</mo><mi>N</mi><mo>(</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mover accent="false"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>)</mo><mo>.</mo></math>

33	Мульти-матричная постановка	<p style="padding-left: 30px;"><strong>Мульти-матричная постановка</strong></p> <p style="padding-left: 30px;"><strong>Мульти-матричная постановка</strong></p>

34	Используемая нами мульти-матричная постановка игр $n$ лиц представляет собой обобщение гекса-матричной постановки игр трех лиц [5], где таблицы выигрышей игроков определялись шестью матрицами. В нашем случае таблицы выигрышей игроков определяются $(n - 1) n$ матрицами.	Используемая нами мульти-матричная постановка игр <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц представляет собой обобщение гекса-матричной постановки игр трех лиц [5], где таблицы выигрышей игроков определялись шестью матрицами. В нашем случае таблицы выигрышей игроков определяются <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></math> матрицами. Используемая нами мульти-матричная постановка игр <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц представляет собой обобщение гекса-матричной постановки игр трех лиц [5], где таблицы выигрышей игроков определялись шестью матрицами. В нашем случае таблицы выигрышей игроков определяются <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced><mi>n</mi></math> матрицами.

35	Оказалось, что мульти-матричная постановка после сборки всех матриц, определяющих таблицы игроков в одну блочную матрицу, позволяет написать одну программу для поиска равновесия в играх нескольких лиц, что невозможно делать в случае общей постановки, где для каждого количества игроков надо написать отдельную программу.	Оказалось, что мульти-матричная постановка после сборки всех матриц, определяющих таблицы игроков в одну блочную матрицу, позволяет написать одну программу для поиска равновесия в играх нескольких лиц, что невозможно делать в случае общей постановки, где для каждого количества игроков надо написать отдельную программу. Оказалось, что мульти-матричная постановка после сборки всех матриц, определяющих таблицы игроков в одну блочную матрицу, позволяет написать одну программу для поиска равновесия в играх нескольких лиц, что невозможно делать в случае общей постановки, где для каждого количества игроков надо написать отдельную программу.

36	Рассмотрим игру $Υ$ с $n$ игроками. Конечная некооперативная игра $n$ лиц $Υ$ определяется $n$ множествами X_r ( $1 \leq r \leq n$ ) стратегий игроков соответственно,	Рассмотрим игру <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Υ</mi></math> <strong> </strong>с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроками. Конечная некооперативная игра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Υ</mi></math> определяется <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> множествами X<sub>r</sub> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi> </mi><mi>r</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></math> ) стратегий игроков соответственно, Рассмотрим игру <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Υ</mi></math> <strong> </strong>с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроками. Конечная некооперативная игра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi mathvariant="normal">Υ</mi></math> определяется <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> множествами X<sub>r</sub> ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi> </mi><mi>r</mi><mo>≤</mo><mi>n</mi></math> ) стратегий игроков соответственно,

37	$X_{r} = \{x_{r} = (x_{1}^{r}, \dots, x_{m_{r}}^{r}) \in E^{m (r)} : {〈 x}_{r}, e_{m (r)} 〉 = 1, x_{r} \geq 0_{m (r)}\},$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>=</mo><mi> </mi><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msup><mo>:</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mo>〈</mo><mi> </mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>〉</mo><mi> </mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>=</mo><mi> </mi><mfenced open="{" close="}" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo><mo>∈</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msup><mo>:</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mo>〈</mo><mi> </mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>〉</mo><mi> </mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mi> </mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></math>

38	вместе с их функциями выигрышей по формуле	вместе с их функциями выигрышей по формуле вместе с их функциями выигрышей по формуле

39	$f^{r} (x) = f^{r} (x_{1}, \dots, x_{n}) = 〈x_{r}, \sum_{q \in I \ r}^{n} a_{m (r), m (q)}^{r, q} x_{q}〉, 1 \leq r \leq n, (8)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi> </mi><mi>r</mi><mo>≤</mo><mi> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>8</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mn>1</mn><mo>≤</mo><mi> </mi><mi>r</mi><mo>≤</mo><mi> </mi><mi>n</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>8</mn></mrow></mfenced></math>

40	где $a_{m (r), m (q)}^{r, q}$ – $m (r) \times m (q)$ -матрица, $I = [1,2, \dots, n], (r, q) \in I, a_{m (r), m (r)}^{r, r}$ – нуль матрицы.	где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup></math> – <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>×</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></math> -матрица, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="\|"><mrow><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi> </mi><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> – нуль матрицы. где <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup></math> – <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>×</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></math> -матрица, <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>I</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="\|"><mrow><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></mfenced><mi> </mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>,</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi> </mi><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> – нуль матрицы.

41	Т.е. коэффициенты матрицы выигрышей игрока $r$ определяются как суммы коэффициентов $n - 1$ матриц по формуле	Т.е. коэффициенты матрицы выигрышей игрока <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> определяются как суммы коэффициентов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> матриц по формуле Т.е. коэффициенты матрицы выигрышей игрока <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> определяются как суммы коэффициентов <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> матриц по формуле

42	$\begin{array}{l} A_{i_{1}, \dots, i_{n}}^{r} = \sum_{q \in I - r} ‍ a_{i_{r}, i_{q}}^{r, q}, 1 ⩽ r ⩽ n . (9) \end{array}$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>-</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>⩽</mo><mi>r</mi><mo>⩽</mo><mi>n</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>9</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>-</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi></mrow></mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>1</mn><mo>⩽</mo><mi>r</mi><mo>⩽</mo><mi>n</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>9</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></math>

43	( $a_{m (r), m (q)}^{r, q}, a_{m (q), m (r)}^{q, r}$ – матрицы выигрышей в биматричной игре участников $r$ и $q$ ).	( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>q</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> – матрицы выигрышей в биматричной игре участников <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi></math> ). ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>q</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>q</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msubsup></math> – матрицы выигрышей в биматричной игре участников <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>q</mi></math> ).

44	Введем функцию (индикатор) Нэша $N (x) = \sum_{r = 1}^{n} N^{r} (x) ‍,$	Введем функцию (индикатор) Нэша <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi><mo>,</mo></math> Введем функцию (индикатор) Нэша <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced></mrow></mrow><mi mathvariant="normal">‍</mi><mo>,</mo></math>

45	$N^{r} (x) = \underset{x_{r} \in X_{r}}{m a x} f^{r} (x_{1}, \dots, x_{r - 1}, x_{r}, x_{r + 1}, \dots, x_{n}) - f^{r} (x_{1}, \dots, x_{n}) . (10)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munder><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>-</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>10</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msup><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></munder><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>-</mo><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>.</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal"> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>10</mn></mrow></mfenced></math>

46	Мульти-матричная игра $n$ лиц в этих обозначениях представляется как задача квадратичного программирования	Мульти-матричная игра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц в этих обозначениях представляется как задача квадратичного программирования Мульти-матричная игра <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц в этих обозначениях представляется как задача квадратичного программирования

47	$\sum_{r = 1}^{n} {〈x_{r}, \sum_{q \in I \ r} a_{m (r), m (q)}^{r, q} x_{q}〉 - α^{r}} ↑ \underset{x_{}, α_{}^{}}{m a x} (11)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mo>{</mo><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>-</mo><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>}</mo><mo>↑</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi> </mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi> </mi></mrow><mrow><mi> </mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>11</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><munderover><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover><mrow><mo>{</mo><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>q</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>q</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>q</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>q</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mo>-</mo><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>}</mo><mo>↑</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi> </mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi> </mi></mrow><mrow><mi> </mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>11</mn></mrow></mfenced></math>

48	при ограничениях	при ограничениях при ограничениях

49	$〈x_{r}, \sum_{s \in I \ r} a_{m (r), m (s)}^{r, s}〉 \leq α^{r} e_{m}, r \in I . (12)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>s</mi></mrow></msubsup><mi> </mi></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>12</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>s</mi></mrow></msubsup><mi> </mi></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>≤</mo><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi>r</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>12</mn></mrow></mfenced></math>

50	$〈x_{r}, e_{m (r)}〉 = 1, x_{r} \geq 0_{m (r)}, α^{r} \geq 0_{1} . (13)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi><mo>=</mo><mi> </mi><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>13</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi><mo>=</mo><mi> </mi><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><msup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>13</mn></mrow></mfenced></math>

51	Алгоритм локального поиска	<p style="padding-left: 30px;"><strong>Алгоритм локального п</strong><strong>оиска</strong></p> <p style="padding-left: 30px;"><strong>Алгоритм локального п</strong><strong>оиска</strong></p>

52	Для компактного представления алгоритма локального поиска мы собрали эти матрицы в блочную матрицу	Для компактного представления алгоритма локального поиска мы собрали эти матрицы в блочную матрицу Для компактного представления алгоритма локального поиска мы собрали эти матрицы в блочную матрицу

53	$H = (\begin{array}{l} O_{m (1)} & a_{m (1), m (2)}^{1,2} & a_{m (1), m (3)}^{1,3} & \dots & a_{m (1), m (n)}^{1, n} \\ a_{m (2), m (1)}^{2,1} & O_{m (2)} & a_{m (2), m (3)}^{2,3} & \dots & a_{m (2), m (n)}^{2, n} \\ a_{m (3), m (1)}^{3,1} & a_{m (3), m (2)}^{3,2} & O_{m (3)} & \dots & a_{m (3), m (n)}^{3, n} \\ \dots \\ a_{m (n), m (1)}^{n, 1} & a_{m (n), m (2)}^{n, 2} & a_{m (n), m (3)}^{n, 3} & \dots & O_{m (n)} \end{array}), (14)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>H</mi><mo>=</mo><mfenced separators="\|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msub></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1,3</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2,1</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msub></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2,3</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3,1</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow></msubsup><mi> </mi></mtd><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></msub></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd/><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>14</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>H</mi><mo>=</mo><mfenced separators="\|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></msub></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1,3</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2,1</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></msub></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2,3</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>2</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3,1</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3,2</mn></mrow></msubsup><mi> </mi></mtd><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></msub></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>3</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>3</mn><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd/><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>2</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>,</mo><mn>3</mn></mrow></msubsup></mtd><mtd><mo>…</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>14</mn></mrow></mfenced></math>

54	где, например, подматрица $H_{1,2} = a_{m (1), m (2)}^{1,2}$ .	где, например, подматрица <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">H</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msubsup></math> . где, например, подматрица <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">H</mi></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>1</mn></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>1,2</mn></mrow></msubsup></math> .

55	Алгоритм локального поиска равновесия Нэша для игры $n$ -лиц в мульти-матричной постановке принимает следующий вид.	Алгоритм локального поиска равновесия Нэша для игры <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -лиц в мульти-матричной постановке принимает следующий вид. Алгоритм локального поиска равновесия Нэша для игры <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> -лиц в мульти-матричной постановке принимает следующий вид.

56	Фиксируя все стратегий $({\bar{x}}_{v})$ кроме одной $(x_{r})$ в представлении функции Нэша в цикле мы построим функционалы (15) и матрицы (17, 18) условий задач линейного программирования (ЛП) $P_{r}$ $(r = 1, 2, \dots, n)$ $n$ игроков и будем решать эти задачи последовательно $1,2, \dots, n$ друг за другом до тех пор, пока не будет достигнут минимум функции Нэша $N (x)$ .	Фиксируя все стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>v</mi><mi> </mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi></math> кроме одной <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> в представлении функции Нэша в цикле мы построим функционалы (15) и матрицы (17, 18) условий задач линейного программирования (ЛП) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>)</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mi> </mi></math> игроков и будем решать эти задачи последовательно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>n</mi></math> друг за другом до тех пор, пока не будет достигнут минимум функции Нэша <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> . <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi><mi> </mi></math> Фиксируя все стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>v</mi><mi> </mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi></math> кроме одной <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> в представлении функции Нэша в цикле мы построим функционалы (15) и матрицы (17, 18) условий задач линейного программирования (ЛП) <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>)</mo><mi mathvariant="normal"> </mi></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mi> </mi></math> игроков и будем решать эти задачи последовательно <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mn>1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi> </mi><mi>n</mi></math> друг за другом до тех пор, пока не будет достигнут минимум функции Нэша <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> . <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi><mi> </mi></math>

57	После решения очередной задачи $P_{r}$ фиксируем полученную стратегию $x_{r}$ как ${\bar{x}}_{r}$ , при этом значение показателя $N (x)$ как функция от $x_{r}$ может уменьшится (по крайней мере не увеличиватся). Т.е. функция Нэша монотонно сходится к локальному минимуму.	После решения очередной задачи <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> фиксируем полученную стратегию <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math> как <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi> </mi><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mi> </mi></mrow></msub></math> , при этом значение показателя<em> </em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> <em> </em>как функция от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> может уменьшится (по крайней мере не увеличиватся). Т.е. функция Нэша монотонно сходится к локальному минимуму. После решения очередной задачи <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> фиксируем полученную стратегию <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal"> </mi></math> как <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi> </mi><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>r</mi><mi> </mi></mrow></msub></math> , при этом значение показателя<em> </em> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>N</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></math> <em> </em>как функция от <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> может уменьшится (по крайней мере не увеличиватся). Т.е. функция Нэша монотонно сходится к локальному минимуму.

58	В этих задачах функционал задачи $P_{r}$ , полученной фиксацией всех стратегий кроме одной в выше приведённой задаче квадратичного программирования (11, 12, 13), задается формулой	В этих задачах функционал задачи <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> , полученной фиксацией всех стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi></math> кроме одной в выше приведённой задаче квадратичного программирования (11, 12, 13), задается формулой В этих задачах функционал задачи <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub></math> , полученной фиксацией всех стратегий <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi> </mi></math> кроме одной в выше приведённой задаче квадратичного программирования (11, 12, 13), задается формулой

59	$〈x_{r}, \sum_{v \in I \ r} (a_{m (r), m (v)}^{r, v} + {{(a}_{m (v), m (r)}^{v, r})}^{T}) {\bar{x}}_{v}〉 - \sum_{v \in I \ r} α_{v}^{r} ↑ \underset{x_{r}, α_{v}^{r}}{m a x} (15)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msup><mrow><msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>v</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>v</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo></mrow></mrow><mi> </mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>↑</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>15</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msup><mrow><msubsup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>v</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>v</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msubsup><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo></mrow></mrow><mi> </mi><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>↑</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>15</mn></mrow></mfenced></math>

60	или, используя вместо обозначении $a_{m (r), m (v)}^{r, v}$ символы $H_{r, v}$ .	или, используя вместо обозначении <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msubsup></math> символы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msub></math> . или, используя вместо обозначении <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msubsup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>v</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msubsup></math> символы <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msub></math> .

61	${〈x_{r}, \sum_{v \in I \ r} (H_{r, v} + H_{v, r}^{T}) {\bar{x}}_{v}〉 - \sum_{v \in I \ r} α_{v}^{r}} ↑ \underset{x_{r}, α_{v}^{r}}{m a x} . (16)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>{</mo><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>v</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>}</mo></mrow></mrow><mi> </mi><mo>↑</mo><mi> </mi><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>16</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mrow><mrow><mi mathvariant="normal"> </mi></mrow><mo>⁡</mo><mrow><mo>{</mo><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><mfenced separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>v</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>v</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mrow></mfenced><mo>-</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></mrow></munder><mrow><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></mrow><mo>}</mo></mrow></mrow><mi> </mi><mo>↑</mo><mi> </mi><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup></mrow></munder><mi> </mi><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>16</mn></mrow></mfenced></math>

62	И $n - 1$ систем неравенств ( $u \in I \ r$ ) описываются формулой	И <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> систем неравенств ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></math> ) описываются формулой И <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> систем неравенств ( <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi></math> ) описываются формулой

63	$H_{u, r} x_{r} + \sum_{s \in I \ r, u} H_{u, s} {\bar{x}}_{s} \leq α_{u}^{r} e_{m}, u \in I \ r, (17)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>u</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>s</mi></mrow></msub><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>17</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>r</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>+</mo><mrow><munder><mo stretchy="false">∑</mo><mrow><mi>s</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>u</mi></mrow></munder><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>s</mi></mrow></msub><msub><mrow><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mo>-</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mo>≤</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>I</mi><mo>\</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>17</mn></mrow></mfenced></math>

64	$〈x_{r}, e_{m (r)}〉 = 1, x_{r} \geq 0_{m (r)}, α_{u}^{r} \geq 0_{1} . (18)$	<math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi><mo>=</mo><mi> </mi><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>18</mn></mrow></mfenced></math> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced open="〈" close="〉" separators="\|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow></msub></mrow></mfenced><mi> </mi><mo>=</mo><mi> </mi><mn>1</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msub><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi><mfenced separators="\|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow></msub><mo>,</mo><mi> </mi><mi> </mi><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msubsup><mi> </mi><mo>≥</mo><msub><mrow><mn>0</mn></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mi> </mi><mfenced separators="\|"><mrow><mn>18</mn></mrow></mfenced></math>

65	При помощи формул (15, 16, 17, 18) описываются $n$ $(r = 1, 2, \dots, n)$ задач и их $n - 1$ $(u \in I \ r)$ систем неравенств. При написании алгоритма в среде Питон эти же формулы реализуются при помощи одной процедуры с параметрами $r$ и $u$ .	При помощи формул (15, 16, 17, 18) описываются<sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>)</mo></math> <sub> </sub><sub> </sub>задач и их <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">u</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>\</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>)</mo></math> систем неравенств. При написании алгоритма в среде Питон эти же формулы реализуются при помощи одной процедуры с параметрами <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi></math> . При помощи формул (15, 16, 17, 18) описываются<sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi>r</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mn>2</mn><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mo>…</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal"> </mi><mi>n</mi><mo>)</mo></math> <sub> </sub><sub> </sub>задач и их <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></math> <sub> </sub> <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mo>(</mo><mi mathvariant="normal">u</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">I</mi><mo>\</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>)</mo></math> систем неравенств. При написании алгоритма в среде Питон эти же формулы реализуются при помощи одной процедуры с параметрами <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>r</mi></math> и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>u</mi></math> .

66	Решение, т. е. равновесие Нэша, ищется путем целенаправленного перебора начальных точек, наборов чистых стратегий игроков, с использованием локального поиска, пока мы не найдем точку, для которой минимум функции Нэша равен нулю, т. е. найдено равновесие. Упорядоченное лексикографическое генерирование начальных точек может быть выполнено следующим образом.	Решение, т. е. равновесие Нэша, ищется путем целенаправленного перебора начальных точек, наборов чистых стратегий игроков, с использованием локального поиска, пока мы не найдем точку, для которой минимум функции Нэша равен нулю, т. е. найдено равновесие. Упорядоченное лексикографическое генерирование начальных точек может быть выполнено следующим образом. Решение, т. е. равновесие Нэша, ищется путем целенаправленного перебора начальных точек, наборов чистых стратегий игроков, с использованием локального поиска, пока мы не найдем точку, для которой минимум функции Нэша равен нулю, т. е. найдено равновесие. Упорядоченное лексикографическое генерирование начальных точек может быть выполнено следующим образом.

67	Пусть будет $m$ стратегий и $n$ игроков. Используя начальный список (счетчик) start [1: n]= [1, ...,1], мы устанавливаем начальный набор стартовых точек, то есть первые чистые стратегии игроков. Переход к следующему набору стартовых точек, начиная со второго игрока, осуществляется путем циклического просмотра стартового списка от двух до $n$ путем увеличения рассматриваемого компонента на единицу, еcли он меньше предельного значения $m$ , и переходим к следующему набору. При обнаружении предельного значения присвоим этому компоненту списка номер первой чистой стратегии и продолжим просмотр списка. Тем самым осуществим лексикографическое продвижение по стартовому списку.	Пусть будет <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> стратегий и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроков. Используя начальный список (счетчик) start [1: n]= [1, ...,1], мы устанавливаем начальный набор стартовых точек, то есть первые чистые стратегии игроков. Переход к следующему набору стартовых точек, начиная со второго игрока, осуществляется путем циклического просмотра стартового списка от двух до <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> путем увеличения рассматриваемого компонента на единицу, еcли он меньше предельного значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> , и переходим к следующему набору. При обнаружении предельного значения присвоим этому компоненту списка номер первой чистой стратегии и продолжим просмотр списка. Тем самым осуществим лексикографическое продвижение по стартовому списку. Пусть будет <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> стратегий и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> игроков. Используя начальный список (счетчик) start [1: n]= [1, ...,1], мы устанавливаем начальный набор стартовых точек, то есть первые чистые стратегии игроков. Переход к следующему набору стартовых точек, начиная со второго игрока, осуществляется путем циклического просмотра стартового списка от двух до <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> путем увеличения рассматриваемого компонента на единицу, еcли он меньше предельного значения <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> , и переходим к следующему набору. При обнаружении предельного значения присвоим этому компоненту списка номер первой чистой стратегии и продолжим просмотр списка. Тем самым осуществим лексикографическое продвижение по стартовому списку.

68	В среде Python (где нумерация компонентов списка начинается с 0) переход к следующему набору начальных точек выполняется с помощью следующего цикла:	В среде Python (где нумерация компонентов списка начинается с 0) переход к следующему набору начальных точек выполняется с помощью следующего цикла: В среде Python (где нумерация компонентов списка начинается с 0) переход к следующему набору начальных точек выполняется с помощью следующего цикла:

69	Подпись к рисунку/медиа
70	Мы будем перебирать начальные точки, пока не найдем равновесие или не исчерпаем список этих точек, т. е. start[n] = m.	Мы будем перебирать начальные точки, пока не найдем равновесие или не исчерпаем список этих точек, т. е. start[n] = m. Мы будем перебирать начальные точки, пока не найдем равновесие или не исчерпаем список этих точек, т. е. start[n] = m.

71	Результаты тестовых расчетов	<p style="padding-left: 30px;"><strong>Результаты </strong><strong>тестовых расчетов</strong></p> <p style="padding-left: 30px;"><strong>Результаты </strong><strong>тестовых расчетов</strong></p>

72	В среде Python была составлена программа для поиска равновесия Нэша в играх с $n$ лиц и $m$ стратегиями с мульти старт, где локальный поиск начинался с набора чистых стратегий игроков с последующим лексикографическим сканированием этого набора, пока результат не был найден или этот набор не был исчерпан. Такая программа может быть написана для мульти-матричной постановки, но не для общей постановки.	В среде Python была составлена программа для поиска равновесия Нэша в играх с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> стратегиями с мульти старт, где локальный поиск начинался с набора чистых стратегий игроков с последующим лексикографическим сканированием этого набора, пока результат не был найден или этот набор не был исчерпан. Такая программа может быть написана для мульти-матричной постановки, но не для общей постановки. В среде Python была составлена программа для поиска равновесия Нэша в играх с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц и <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>m</mi></math> стратегиями с мульти старт, где локальный поиск начинался с набора чистых стратегий игроков с последующим лексикографическим сканированием этого набора, пока результат не был найден или этот набор не был исчерпан. Такая программа может быть написана для мульти-матричной постановки, но не для общей постановки.

73	Как вы можете видеть, результаты в таблице показывают, что увеличение числа лиц и стратегий значительно увеличивает время нахождения равновесия.	Как вы можете видеть, результаты в таблице показывают, что увеличение числа лиц и стратегий значительно увеличивает время нахождения равновесия. Как вы можете видеть, результаты в таблице показывают, что увеличение числа лиц и стратегий значительно увеличивает время нахождения равновесия.

74	Более того, для тех игр, у которых более десяти стратегий, невозможно получить результаты с приемлемым временем для игр более пяти лиц.	Более того, для тех игр, у которых более десяти стратегий, невозможно получить результаты с приемлемым временем для игр более пяти лиц. Более того, для тех игр, у которых более десяти стратегий, невозможно получить результаты с приемлемым временем для игр более пяти лиц.

75	В таблице результатов тестирования показана сумма количества начальных точек, итераций и времени решения пяти игр, сгенерированных с использованием датчика случайных чисел в серии трех, четырех, пяти, шести, семи лиц и 3, 5, 10, 20 стратегий (рис. 1).	В таблице результатов тестирования показана сумма количества начальных точек, итераций и времени решения пяти игр, сгенерированных с использованием датчика случайных чисел в серии трех, четырех, пяти, шести, семи лиц и 3, 5, 10, 20 стратегий (рис. 1). В таблице результатов тестирования показана сумма количества начальных точек, итераций и времени решения пяти игр, сгенерированных с использованием датчика случайных чисел в серии трех, четырех, пяти, шести, семи лиц и 3, 5, 10, 20 стратегий (рис. 1).

76	Подпись к рисунку/медиа Рис. 1. Поиск равновесия по Нэшу (начальные точки startp, итерации itn и время time) для пяти игр с участием трех, четырех, пяти, шести, семи лиц и 3, 5, 10, 20 стратегий по локальному алгоритму поиска. Рис. 1. Поиск равновесия по Нэшу (начальные точки startp, итерации itn и время time) для пяти игр с участием трех, четырех, пяти, шести, семи лиц и 3, 5, 10, 20 стратегий по локальному алгоритму поиска.
77	Здесь itn – это шаги алгоритма локального поиска, где на каждом шаге решается $n$ задач линейного программирования, а время указывается в секундах.	Здесь itn – это шаги алгоритма локального поиска, где на каждом шаге решается <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> задач линейного программирования, а время указывается в секундах. Здесь itn – это шаги алгоритма локального поиска, где на каждом шаге решается <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> задач линейного программирования, а время указывается в секундах.

78	Заключение	<p style="padding-left: 30px;"><strong>Заключение</strong></p> <p style="padding-left: 30px;"><strong>Заключение</strong></p>

79	В рассмотренных выше публикациях алгоритм локального поиска был реализован в виде отдельной программы для каждого числа (трех, четырех) лиц. В случае мульти-матричной постановки мы реализовали алгоритм LS как одну программу в среде Python для игр с $n$ лиц $(n = 3, 4, 5, 6, 7)$ . Это работает!	В рассмотренных выше публикациях алгоритм локального поиска был реализован в виде отдельной программы для каждого числа (трех, четырех) лиц. В случае мульти-матричной постановки мы реализовали алгоритм LS как одну программу в среде Python для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>4</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>5</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>6</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>7</mn></mrow></mfenced></math> . Это работает! В рассмотренных выше публикациях алгоритм локального поиска был реализован в виде отдельной программы для каждого числа (трех, четырех) лиц. В случае мульти-матричной постановки мы реализовали алгоритм LS как одну программу в среде Python для игр с <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mi>n</mi></math> лиц <math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" xmlns:m="http://schemas.openxmlformats.org/officeDocument/2006/math"><mfenced separators="\|"><mrow><mi>n</mi><mo>=</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>4</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>5</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>6</mn><mo>,</mo><mi> </mi><mn>7</mn></mrow></mfenced></math> . Это работает!

80	Модификация [8] метода Лемке-Хаусона [7] хорошо работает для игр с участием трех лиц в мульти-матричной постановке. Мы попытались реализовать этот алгоритм для игр с несколькими участниками в виде одной программы. Оказалось, что в случае более чем четырех игроков эта программа работает плохо.	Модификация [8] метода Лемке-Хаусона [7] хорошо работает для игр с участием трех лиц в мульти-матричной постановке. Мы попытались реализовать этот алгоритм для игр с несколькими участниками в виде одной программы. Оказалось, что в случае более чем четырех игроков эта программа работает плохо. Модификация [8] метода Лемке-Хаусона [7] хорошо работает для игр с участием трех лиц в мульти-матричной постановке. Мы попытались реализовать этот алгоритм для игр с несколькими участниками в виде одной программы. Оказалось, что в случае более чем четырех игроков эта программа работает плохо.

Библиография

1. Konno, H. A cutting plane algorithm for solving bilinear programs / H. Konno // Mathematical Programming. – 1976. – V. 11, Issue 1. – p. 14–27.

2. Orlov, A. V. Numerical search for equilibria in bimatrix games / A. V.Orlov, A. S. Strekalovskii // Comput. Math. Math. Phys. – 2005. – V. 45, N6. – p. 947–960.

3. Porter, R. W. Simple Search Methods for Finding a Nash Equilibrium / R. W. Porter, E. Nudelman, Y. Shoham // Games and Economic Behavior. – 2009. – V. 63, N. 2. – p. 642-662.

4. Гольштейн, Е. Г. Приближенный метод решения конечной игры трех лиц / Е. Г. Гольштейн // Экономика и математические методы. – 2014. – Т. 50, № 1. – с. 110-116.

5. Strekalovskii, A. S. Polymatrix games and optimization problems / A. S. Strekalovskii, R. Enkhbat // Autom. Remote Control. – 2014. – V. 75, N4. – p. 632–645.

6. Orlov, A. On computational search for Nash equilibrium in hexamatrix games / A.Orlov, A.Strekalovsky, S.Batbileg // Optimization Letters. – 2014. – V.10, No.2. p. 369-381.

7. Lemke, C. Equilibrium Points of Bimatrix Games / C. Lemke, C. J. Howson // Journal of the Societyfor Industrial and Applied Mathematics. – 1964. – V. 12. – p. 778-780.

8. Golshteyn, E. The Lemke–Howson Algorithm Solving Finite Non-Cooperative Three-Person Games in a Special Setting / E. Golshteyn, U. Malkov, N. Sokolov // DEStech Transactions on Computer Science and Engineering. – 2018.

9. Batbileg, S. A global optimization algorithm for solving a four-person game / S. Batbileg, N. Tungalag, A. Anikin [and others] // Optimization Letters. – 2019. – V.13. – p.587-596.

10. Enkhbat, R. A Note on Four-Players Triple Game/ R. Enkhbat, S. Bathileg, A. Anikin [and others] // Contributions to Game Theory and Management. – 2019. – V.XII. – p.100-112.

11. Гольштейн, Е. Г. Эффективность приближенного метода решения конечной игры трех лиц (вычислительный опыт) / Е. Г. Гольштейн, У. Х. Малков, Н. А. Соколов // Экономика и математические методы. – 2017. – Т. 53, № 1. – с. 94-107.

12. Neumann, John Von. Theory of games and economic behavior / John Von Neumann, O. Morgenstern. – Princeton University Press, 1944. – 674 p.

13. Орлов, А. В. С. Батбилэг, Олигополистический банковский сектор Монголиии и полиматричные игры трех лиц / А. В. Орлов, С. Батбилэг // Известия Иркутского государственного университета. – 2015. – Т. 11. Серия «Математика». – С. 80–95.

Библиография

Комментарии

Войти через