Везде
Методические вопросы применения математических моделей в исследованиях сложных процессов
Оглавление
Аннотация Оценить Содержание публикации
Библиография Комментарии
Поделиться
QR
Метрика
Методические вопросы применения математических моделей в исследованиях сложных процессов
Аннотация
Код статьи
S265838870009482-3-1
DOI
10.33276/S265838870009482-3
Тип публикации
Статья
Статус публикации
Опубликовано
Авторы
Черненков Михаил Владимирович 
Должность: старший научный сотрудник лаборатории математической социологии
Аффилиация: Центральный экономико-математический институт Российской Академии Наук
Адрес: Москва, Нахимовский проспект, 47
Фомин Александр Николаевич
ORCID: 0000-0003-4143-2224
Должность: профессор кафедры криптологии и специальных алгоритмов факультета комплексной безопасности ТЭК
Аффилиация: Российский государственный университет нефти и газа им. И.М. Губкина (РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина)
Адрес: Москва, Ленинский проспект, 65
Выпуск
Том 3 Выпуск 1
Аннотация

Статья посвящена вопросам применения математических моделей и методов при моделировании сложных, трудно формализуемых процессов в политике, экономике и социальной сфере. Проанализированы особенности применения различных методов в раскрытии неопределенности и снижении общей энтропии исследуемых процессов.  Сформулированы предложения по их использованию в зависимости от состава исходных данных и целевых ориентиров. На конкретных примерах описаны процедуры их применения с учетом различного рода ограничений, показаны место и роль  в повышении точности оценок в процессе моделирования. Материалы статьи могут представлять интерес для специалистов-аналитиков, специализирующихся в исследованиях социально-экономических систем.

Ключевые слова
математические модели, экспертные опросы, вероятностные методы, метод парных сравнений, метод анализа иерархии, метод главных компонент, теория полезности, целеполагание.
Классификатор
Получено
14.05.2020
Дата публикации
30.06.2020
Всего подписок
32
Всего просмотров
1713
Оценка читателей
0.0 (0 голосов)
Цитировать Скачать pdf
Доступ к дополнительным сервисам
Дополнительные сервисы только на эту статью
Преимущества сервисов
100 руб. / 1.0 SU
Дополнительные сервисы на все выпуски за 2020 год
Преимущества сервисов
1200 руб. / 24.0 SU
1

Введение
2 Анализ ситуаций в политике, экономике и социуме, показывает, что в этих сферах большинство аналитических проблем и задач трудно формализуемы. Поэтому моделирование процессов в таких сложных системах сопряжено с необходимостью учета различного рода неопределенностей, способных существенно снизить общее качество результата.
3 Основные положения и прикладные проблемы математического моделирования сложных систем и процессов изложены в работах Л.В. Канторовича, В.С. Немчинова, Н.Н. Моисеева, П.С. Краснощекова, А.А. Дородницына, А.А. Петрова, И.Г. Поспелова, В.Л. Макарова, В.М., Полтеровича, Г.Б. Клейнера и других российских ученых.
4 В рамках ограниченного объема статьи анализ изложенных в этих работах подходов не представляется возможным. В связи с этим ограничимся методами математической статистики, методами принятия оптимальных решений и агентоориентированного моделирования.
5 Целью статьи является анализ моделей исследования поведения сложных социально-экономических систем, выявление достоинств и недостатков, анализ рациональных областей их применения.
6 Основными результатами являются описание различных подходов по применению отдельных математических методов, анализ существующих принципов моделирования объектов сложной природы, а также примеры функционирования некоторых моделей.
7

Применение методов математического моделирования для снижения неопределенности.
8 Исходя из общих принципов теории информации, бороться с неопределенностями можно или с помощью учета различными способами новой дополнительной информации, снижая при этом общую энтропию системы и ошибку исследования, или «не замечать» неопределенности и делегировать принятие решений на более высокий системный уровень.
9 Анализ применения математических моделей для решения трудных сложно формализуемых задач в политике, экономике и социальной сфер показал, что среди методов решения задач снижения неопределенности за счет внесения дополнительной информации (субъективных данных) чаще других предпочтение отдается следующим:
10

- цифровизации трудно формализуемых элементов изучаемых процессов за счет дополнительных социологических исследований, обеспечивающих поиск и выявление необходимых функциональных связей, используя которые становится возможным «замкнуть» расчетную схему и далее решить задачу чисто формальными методами;
11

- выделению трудно формализуемых элементов и попытка их формализации за счет дополнительных экспертных оценок;
12

- применению методов теории полезности (одномерной или многомерной) при восстановлении функций в условиях, связанных с рисками и вероятностными исходами;
13

- применению методов агентного моделирования для исследования сложных систем, эволюционирующих в результате взаимодействия элементов системы (агентов).
14 Приведенные методы позволяют за счет структуризации разложить исследуемую проблему или процесс на такие элементарные составляющие, для которых уже возможно установить виды функциональных связей между определяющими параметрами и выходными величинами. Неизвестные параметры функций могут быть установлены по результатам социологических исследований или из анализа ретроспективных данных.
15 Например, прогнозирование рейтингов кандидатов или политических партий в период выборных кампаний оказывается затруднительным ввиду различия условий, в которых находятся избиратели в различных регионах. Поэтому в процессе изучения электоральных предпочтений населения, как правило, все избиратели разбиваются на группы по территориальному и социальному признакам. Далее на основе данных социологических исследований в каждой электоральной и социальной группах рассчитываются прогнозы рейтингов кандидатов, после чего полученные результаты частных прогнозов объединяются в общем рейтинге (Фомин и др, 2018).
16 При определении параметров математических моделей довольно часто применяются вероятностные методы проверки результатов исследований, в частности – статистические методы проверки параметрических и непараметрических гипотез при обработке статистических рядов.
17 Снижение общей неопределенности результата моделирования может быть достигнуто также с помощью выявления основных закономерностей, связывающих значения отдельных параметров модели и ограничивающих возможности их независимых вариаций. Это позволяет снизить общую ошибку моделирования. Выявление и анализ скрытых закономерностей и взаимосвязей являются основным инструментом в социологических и экономических исследованиях (Айвазян и др, 2019, Гаврилец и др, 2020.).
18 В некоторых случаях общую неопределенность удается снизить, если удается четко определить целевую функцию, установить оптимизируемые (управляющие) параметры и систему ограничений. Тогда становится возможным достаточно точно «вычислить» поведение подсистемы. Например, максимизация ожидаемого рейтинга политической партии или кандидата в период выборов, или ориентация экономических агентов на получение максимальной прибыли.
19 При описании сложных систем методами структуризации и математического моделирования обычно возможны следующие допущения.
20 Считается, что система может быть представлена в виде совокупности более простых частей. Это верно, когда взаимодействие элементов внутри каждой из подсистем сильнее, чем взаимодействие между подсистемами.
21 Предполагается, что чем более детальна структуризация системы, т.е. чем большим количеством математических моделей она описана, тем выше точность всего результата. Это не всегда верно, так как каждая математическая модель оперирует своей системой исходных данных. С увеличением степени структуризации количество используемых в моделях исходных данных резко увеличивается. А поскольку этим данным свойственны свои собственные неопределенности, то начиная с некоторой степени структуризации системы, положительный эффект увеличения точности результата перекрывается отрицательным эффектом повышения неопределенности. Иначе говоря, при определенном уровне структуризации вместе с полезной информацией вносится также дополнительная неопределенность исходных данных. Качественно это проиллюстрировано на рисунке 1.
22 Темная кривая – это методические ошибки, более светлая – ошибки, обусловленные неопределенностью исходных данных. Верхняя кривая представляет суммарные ошибки моделирования.
23 Поэтому, структурирование исследуемой системы следует проводить только до некоторого рационального уровня, который определяется существом конкретной задачи, точностью исходных данных, а также искусством и опытом исследователя.
24

Рис.1 Зависимость между относительным числом ошибок и степенью структуризации изучаемой системы.
25 При моделировании сложных социально–экономических и общественно–политических систем в условиях высокой динамики внешней среды в силу их высокой размерности, предлагается сочетать формальные и эвристические методы. В этом случае математическому моделированию подлежат только наиболее важные явления и процессы, а остальные необходимые для исследования соотношения формируются по результатам экспертных процедур.
26 Для повышения точности результатов при проведении экспертных сессий предлагается применять методы парных сравнений относительных значимостей факторов (Чеботарев и др., 2008). При этом, за счет избыточности экспертиз удается довольно точно оценить относительные значения параметров. Как показывают результаты различных тестов, в отдельных случаях относительная ошибка составляет 4–6%, что примерно соответствует общей точности результатов, полученных с использованием наиболее проработанных математических моделей. Формируемая по завершению экспертизы матрица парных сравнений различных факторов обладает большой информационной избыточностью, что позволяет дополнительно снизить ошибки экспертизы за счет компенсации погрешностей.
27 Следует отметить, что методы парных сравнений обладают одним существенным недостатком – они позволяют формировать только линейные или мультипликативные функции от определяющих факторов. Действительно, самой схемой метода изначально предполагается, что относительные значимости (важности) различных определяющих факторов – постоянные величины. Поэтому формируемая математическая модель может быть только линейной, что, конечно, ограничивает область ее применения малыми изменениями определяющих факторов.
28 При моделировании сложных систем полезны также методы анализа иерархий, представляющие собой общую методологию для решения проблем, связанных с принятием управленческих решений. Говоря кратко, это методология для структурирования, измерения и синтеза факторов с целью выбора среди конкурирующих альтернатив в многокритериальной среде. Они основаны на анализе иерархических схем (Саати, 1993).
29 Иерархические схемы необходимы для оценки вклада каждого конкретного мероприятия в обеспечение достижения общей цели. Например, в максимизацию значений рейтинга политической партии или кандидата в ходе выборных кампаний, реализацию национальных проектов и программ (Шабров, 2004).
30 Перспективно применение метода анализа иерархий для задач стратегического планирования развития сложных социально-экономических систем: крупных предприятий, фирм, организаций, министерств и т.д. (Фомин и др., 2015). В частности, для формирования целевой функции развития системы.
31 Для определения вкладов различных мероприятий (работ) в агрегатный показатель качества деятельности необходимо привлечение квалифицированных экспертов. Но на современных крупных предприятиях или организациях мало найдется специалистов, которые знают и понимают все проблемы во всю их широту и глубину. Например, руководители предприятий отслеживают преимущественно стратегические направления, следят за внешней системной средой, за конкурентами и рынками. Технологические проблемы интересуют их в меньшей степени. Инженеры и технологи, наоборот, хорошо разбираясь в конструкциях технических систем и технологических процессах, имеют недостаточное представление о стратегии предприятия, его финансах, способах позиционирования на рынках и тд.
32 В итоге, получается, что в больших экономических системах никто не видит проблемы целиком. Понятно, что в таких условиях говорить о достоверном прогнозировании, тем более – о выборе рациональных вариантов управления фирмой в долгосрочном периоде можно только идеалистически.
33 Методы анализа иерархии позволяют декомпозировать изучаемую проблему на необходимое число уровней: стратегический, тактический, технологический, предметный и др. Это дает возможность каждому специалисту проводить экспертизу на том иерархическом уровне, где его компетенция максимальна. Далее методом решающих матриц путем сопряжения результатов частных экспертиз становится возможным объединить знания экспертов различного уровня и получить достаточно надежные оценки относительных значимостей конкретных мероприятий в достижение общей цели.
34 В свое время Г. Форд создал конвейер, где каждый рабочий выполнял только небольшое количество технологических операций, но зато делал их быстро, качественно и никто другой не мог сделать это лучше него. Следующий рабочий выполнял другую серию операций и т.д. до окончания процесса сборки.
35 В данном случае образуется что-то похожее, только в смысле «сборки» целеполагания: каждому эксперту предлагается работать над той частью общей проблемы, где его знания наиболее востребованы, а часто – вообще уникальны и поэтому наиболее достоверны. Это достигается за счёт использования иерархии, которая как раз предназначена для интеграции знаний разных специалистов, каждый из которых видит только свою часть общей проблемы. Целевая иерархия – это коллективный разум управленцев предприятия. Только за счёт применения иерархического схемы формирования решения значительно повышается точность результатов стратегического планирования.
36 В некоторых случаях в формализации обобщенной цели поможет простой, но полезный метод главных компонент.
37 Основная идея применения этого метода для задач целеполагания заключается в том, что функциональные зависимости обобщенных показателей от определяющих параметров определяются главными компонентами: чем сильнее разброс между конкурентами по главным компонентам, тем выше конкуренция по этим направлениям, т.е. тем более значимыми являются эти направления. А значит, именно на них сосредоточены главные возможности по повышению эффективности предприятия или фирмы.
38 Методы теории полезности для раскрытия неопределенностей чаще всего применяются в следующих случаях (Рини, Райфа, 1981) :
39

а) когда горизонт планирования – большой, и необходимо учитывать нелинейности;
40

б) когда целесообразно учесть влияние случайностей на результат; при этом случайности учитываются при помощи метода лотерей;
41

в) когда необходимо учитывать склонность или несклонность лиц, принимающих решения, к риску.
42 Теория полезности представляет собой наиболее известный инструмент для разрешения противоречия между необходимостью формирования решений в сложных недетерминированных условиях, результаты которых должны быть чувствительны к основным определяющим параметрам, и невозможностью (принципиальной или технической) полной формализации процедуры принятия этого решения. Ключевым элементом для разрешения указанного противоречия является привлечение дополнительной информации, поступающей от эксперта, в интересах которого проводится решение задачи.
43 Многие важные государственные и корпоративные решения в значительной степени авторитарны. Поэтому принятое решение может существенно зависеть от характера руководителя. Например, от его склонности, несклонности или безразличия к риску. Иначе говоря, процедура принятия решения должна учитывать субъективные, личностные факторы.
44 Наличие субъективной компоненты нельзя не учитывать. При использовании только формальных приёмов исследования, сделать это очень трудно, практически невозможно.
45 Нужные пропорции между объективным и субъективным наиболее естественным образом сочетаются в функции полезности (конечно, если она сформирована по результатам опроса именно того лица, которое реально будет ответственен за выполнение решения). Другими словами, применение методов теории полезности делает теоретическое рассмотрение более адекватным реальности, т.е. повышает объективность результатов исследования.
46 Вместе с тем, методы теории полезности — это не просто обычные экспертные методы. В них большое значение придается согласованности экспертных оценок, выявлению устойчивых тенденций в процессе принятии решений.
47 Агенториентированное моделирование (АОМ) представляет собой современную, динамично развивающуюся разновидность компьютерного моделирования, применяемую для исследования и изучения сложных систем, эволюционирующих в результате взаимодействия агентов. Такого рода модели позволяют представить экономическую систему в виде результирующей деятельности большого числа агентов, независимо друг от друга принимающих решения в отношении своего жизнеобеспечения, трудоустройства, обмена ресурсами, общения и т.д. Как следствие, их применение делает возможным более глубокий анализ механизмов и структуры взаимоотношений между людьми за счет того, что эти взаимоотношения фактически становятся каркасом модели (Рузанов и др, 2014, Фаттахов, 2013).
48 Примером такой модели, в частности, является модель распространения инфекции, позволяющая моделировать скорость распространения инфекции и определять ситуации, при которых определенному социуму удается победить болезнь (Макаров, Бахтизин, 2009).
49 К этому типу моделей можно также отнести математические модели, сформированные по принципу моделей мировой динамики Форестера (Краснощеков, Петров, 1983). Они основаны на численном интегрировании системы дифференциальных уравнений (в общем случае – нелинейных), в которых постулируются некие близкие к реальности функциональные выражения для разных стимулов, влияющих на темпы изменения определяющих параметров моделей. Но параметры этих выражений изначально не фиксируются.
50 Далее производится интегрирование системы уравнений при различных сочетаниях этих параметров. А затем выбирается такой их набор, который обеспечивает наименьшее рассогласование между наблюдаемыми и рассчитанными на модели значениями определяющих параметров в неком ретроспективном периоде наблюдения (для этого составляется функция рассогласования, которая затем минимизируется при помощи численных методов).
51 Такой подход применяется при построении комплекса феноменологических математических моделей нефтезависимой российской экономики (Фомин и др., 2008).
52

Применение вероятностных методов для раскрытия неопределенностей
53 При использовании вероятностных методов для неопределенных параметров постулируются некоторые законы распределения случайных величин, которые часто (иногда – не всегда обосновано) ассоциируются с соответствующими параметрами. Например, при полной неопределенности наиболее часто применяются равномерное, нормальное или усеченное нормальное распределения.
54 Затем в соответствие с этими законами генерируются случайные числа, которые после реализации этой процедуры становятся обычными числами. Далее задача решается в обычной детерминированной постановке. Процесс решения повторяется многократно для получения устойчивой статистики результата. В итоге устанавливается законы распределения выходных параметров.
55 Иногда среднеквадратичное отклонение результата оказывается малой величиной. В этом редком случае, когда M >> , априорная неопределенность не оказывает существенного влияния на результат, можно получить окончательное решение задачи. Однако часто этого не происходит, и результат представляется в вероятностном виде, например, в виде плотности распределения значений выходного параметра. В этом случае окончательное решение обычно принимает эксперт, учитывая известную только ему дополнительную информацию о значимости различных значений выходной случайной величины. Для свертки случайных значений нередко пользуются обобщенными показателями (критериями) Лапласа, Гурвица, Вальда, Сэвиджа и т.д. (Симушкин, 2020).
56 Рассмотрим случай, когда определяется оптимальное значение одного параметра W (показателя эффективности) при отсутствии полной информации о другом параметре. То есть, известен только возможный диапазон второго параметра.
57 В частности, при прогнозировании результатов выборов можно считать, что W – это рейтинг одного из кандидатов во 2–м туре выборов, xj – набор его стратегий, ai – набор стратегий оппонента.
58 Тогда можно задавать ряд значений xj и ai и для каждой их комбинации вычислять значение wij. Таким образом, будет получена матрица значений показателя эффективности, последующий анализ которой представляет собой одну из самых сложных задач исследования операций (табл.1).
59

Таблица 1. Матрица значений показателя эффективности

 

x1

x2

xj

xJ

a1

w11

w12

w1j

w1J

a2

w21

w22

w2j

w2J

………….

………….

………….

………….

………….

ai

wi1

wi2

wij

wiJ

………….

………….

………….

………….

………….

aI

wI1

wI2

wIJ

wIJ
60 В зависимости от характера задачи и величины x можно пользоваться одним из следующих показателей (критериев).
61 1) Показатель Лапласа определяется из условия, что все значения xi считаются равновероятными. Тогда вычисляются
62 Wi=∑j=1Jw1j , W2=∑j=1Jw2j (1)
63 и т.д. Просматривая таблицу, выбирается такое значение ai, при котором сумма Wi достигает максимума (минимума).
64 2) Показатель Гурвица записывается следующим образом:
65 Wi = µ×Wijmax + (1– µ)×Wijmin , (2)
66

Где:

Wijmax и Wijmin - максимальные и минимальные значения W в i-ой строке;

µ – коэффициент, выбираемый из более общих соображений.
67 При μ=1 оценка производится по наиболее выгодным результатам. Это оптимистическая оценка.
68 3) Показатель Вальда является частным случаем показателя Гурвица. При = 0 оценка производится по наиболее пессимистическим данным. Это самая осторожная оценка. При этом фактически выбирается
69

max[min(Wij)] ,(3)

         j         i
70 т.е. здесь используется основной критерий теории игр.
71 Существуют различные методы решения игровых задач. В общем случае решение существует в смешанных стратегиях, когда оптимальной тактикой обоих противников будет изменение своего поведения по некоторому вероятностному закону. С методической точки зрения важно, что игровые задачи хорошо формализуются и поэтому в принципе допускают получения решения.
72 4) Показатель Сэвиджа представляет собой «сожаление между выбором действительным и наиболее благоприятным»:
73 Wi = wij – (wij)max .(4)
74

5) Субъективная оценка математического ожидания получаемого результата. Просматривая матрицу, подсчитывается для каждого значения xj сумма удачных åM, неудачных åN и промежуточных åP результатов и, соответственно, их общих количеств n, m и p. Отнесение той или иной величины Wij к категории удачных, неудачных или промежуточных является, в известной мере, условным. Далее из логических соображений определяются субъективные вероятности получить удачные и неудачные результаты с некоторыми «весами» a, b и g, причем a+b+g= 1.
75 Оценочный обобщенный показатель записывается в следующей форме:
76 Wi=×{∑j=1JM}/mi+×{∑j=1JN}/ni+×{∑j=1JP}/pi   (5)
77 6) Прогностическая оценка математического ожидания полученных результатов. Методами прогнозирования определяется вероятность получения x1(P1), x2(P2),.... Затем вычисляется показатель
78 Wi=∑j=1JWij×Pi (6)
79 7)  Определение потерь, которые имеют место при той или иной гипотезе. Исходя из матрицы, записанной выше, составляется матрица потерь при принятии той или иной гипотезы о величине x и при той или иной истиной величине x. Эта матрица имеет следующий вид (табл.2).
80

Таблица 2 Матрица возможных потерь при принятии гипотез

Истинное x

x1

x2

xj

xJ

x1

0

DW12

DW1j

DW1J

x2

DW21

0

DW2j

DW2J

xI

DWI1

DWI2

DWiJ

0
81 Оценочным показателем служит математическое ожидание потерь при принятии той или иной гипотезы о величине x и равновероятном распределении величины «a»:
82 Wi=∑j=1JΔWij/J (7)
83 В ряде случаев могут вводиться и некоторые коэффициенты при xij, определенные из каких–то более общих соображений.
84 Не останавливаясь на описании других показателей, отметим, что, к сожалению, обоснованный выбор того или иного показателя является столь сложной задачей, что введение показателей при анализе матрицы фактически представляет собой замену одного сложного вопроса другим, не менее сложным.
85 При выборе показателя необходимо, прежде всего, исходить из анализа характера величины x. Если она связана с сознательным противодействием оппонента и изменение ее может быть осуществлено в короткие сроки, то естественным является показатель Вальда или в общем случае – аппарат теории игр. Здесь исходят из вполне разумной гипотезы о том, что оппонент действует наиболее невыгодным для нас образом, и к этому следует приспосабливаться.
86 Но противодействие разумному оппоненту – это еще не самый сложный случай для анализа. Значительно хуже, когда сам оппонент или системная среда плохо предсказуемы. При этом возникают так называемые «игры с природой». Самыми подходящими показателями в этом случае будут усредняющий показатель типа показателя Лапласа или модифицированного показателя Лапласа в зависимости от располагаемой информации. Для модифицированного показателя считаются известными априорные вероятности, в то время как для обычного показателя они неизвестны. Поэтому приходится рассматривать случай равных вероятностей, который характеризуется максимальной неопределенностью.
87 В тех случаях, когда величина W представляет собой материальные затраты, целесообразно отказаться от расчета соотношения (7), В общем случае можно рекомендовать выбор компромиссного решения, исходя из анализа всей матрицы с учетом сильных и слабых сторон каждого решения, а также возможности сознательного противодействия оппонента.
88 Рассмотрим еще один частный случай неопределенности, который встречается на практике. Перед группой экспертов ставится задача распределить некоторый ресурс по различным направлениям его использования, например, на финансирование различных инновационных проектов. Предположим, что мнения всех экспертов не полностью согласованы, но при этом каждый из них имеет полную определенность во взгляде на важность и приоритетность планируемых к проведению работ, а неопределенность обусловлена стохастичностью внешней системной среды, например, погрешностями определения исходных данных. В этой ситуации рационально поступить следующим образом: усреднить по каждому направлению ресурсы, назначенные всеми экспертами.
89 Доказано, что при таком подходе результат будет не хуже, чем при использовании показателя Лапласа (идея доказательства основана на утверждении: для нескольких стандартизованных совокупностей случайных величин среднее от максимальных значений не меньше максимального от средних значений). Кроме этого, техническая реализация этой процедуры очень проста и удобна.
90 Последний пример особенно важен, так как показывает, что понятие неопределенности шире понятия случайности. Искусственно сужая неопределенность до случайности, можно потерять ряд интересных решений, имеющих не только научную, но и практическую ценность.

Библиография

1. Айвазян С.А., Афанасьев М.Ю., Кудров А.В. Индикаторы основных направлений социально-экономического развития и их агрегаты в пространстве характеристик региональной дифференциации. Прикладная эконометрика, 2019г., Синергия (М.), том 54, с. 51-69

2. Гаврилец Ю.Н., Черненков М.В., Никитин С.А., Тараканова И.В. Статистический анализ структуры общественного мнения России в 2012–2018 годы. Экономика и математические методы, 2020, том 56, № 1, с. 104–119.

3. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей, М.: Изд-во МГУ, 1983.

4. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р. Новый инструментарий в общественных науках агенториентированные модели: общее описание и конкретные примеры // Экономика и управление. 2009. № 12. С. 13–25. 12.

5. Рини Р.Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. Перев. с англ. В.В. Подиновского, М.Г.Гафта, В.С.Бабинцева под ред. И.Ф.Шахнова. – М.: Радио и связь, 1981

6. А.И. Рузанов, П.А. Рузанов. Компьютерное моделирование поведения сложных экономических систем. Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2014 г, № 4

7. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. Перев. с англ. Вачнадзе Р.Г. — М., Радио и связь, 1993.

8. Самарин И.В., Баскаков В.В., Федосеев С.А., Фомин А.Н. Теоретические и программно-инструментальные основы стратегического планирования на предприятиях оборонно-промышленного комплекса в современных условиях. Монография // Министерство обороны РФ – М., Типография ВА РВСН им. Петра Великого, 2015

9. Самарин И.В., Фомин А.Н., Калашников П.К., Орлов А.И. Нефтяные тренды российской экономики. Монография // Министерство образования Российской Федерации, РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина – М., ООО «Адвансед Солюшиз», 2016

10. Симушкин С.В. Методы теории вероятностей. Москва, Изд-во Лань, 2020, 548 стр.

11. ФаттаховМ.Р. Агентоориентированная модель социально-экономического развития Москвы // Экономика и математические методы. 2013. Т. 49. № 2. С. 30–43.

12. Фомин А.Н., Черненков М.В. Оценка рейтингов кандидатов на выборах «Математическое моделирование социальных процессов. Сборник трудов. Гл. ред. А.П. Михайлов. — М. ИПМ РАН, 2018, Выпуск №20, стр.131-136

13. Чеботарёв П., Чуркин Э. П., Кузнецова Т. Ю., Шмерлинг Д.С. Применение экспертных оценок для задач стратегического планирования. М. : МШЭ МГУ им. М.В.Ломоносова, 2008.

14. Шабров О.Ф. Моделирование социально-политических объектов: специфика и границы применимости // Моделирование в социально-политической сфере: Труды научно-практического семинара. 27 апреля 2004 года.

Комментарии

Сообщения не найдены

Написать отзыв
Перевести