Регрессионные зависимости в стоимостной оценке

Мы рассмотрим типичную задачу стоимостной оценки с использованием так называемого сравнительного подхода. При этом подходе стоимость оцениваемого объекта оценивается по данным о ценах некоторых аналогичных или идентичных объектов (далее – аналогов). К числу аналогов обычно относят объекты, идентичные оцениваемому или сходные с ним по назначению и/или конструкции (а при оценке недвижимого имущества – близкие по местоположению). Процедура стоимостной оценки включает следующие этапы.

1. Оценщик анализирует рынок, где обращаются аналоги, и поведение его участников. Анализируются совершенные на дату оценки или близкие к ней даты с аналогами, а также предложения о таких сделках. Разумеется, во внимание принимаются только такие сделки, условия которых близки к указанным в стандартах оценки. Проведенный анализ позволяет оценщику выбрать некоторый набор основных характеристик (их называют также ценообразующими факторами, предикторами, объясняющими или экзогенными переменными), принимаемых во внимание участниками рынка при совершении сделок с аналогами. Вектор, образованный основными характеристиками, мы будем рассматривать как один (векторный) предиктор. Другими словами, на этом этапе принимается, что стоимость аналога определяется только значением предиктора.
2. Оценщик формирует выборку аналогов, включая в нее объекты, проданные или выставленные на продажу в период, близкий к дате оценки, о каждом из которых известны значения предиктора (y) и цена (z). Для дальнейшего важно отметить, что правильность отбора аналогов и значения их характеристик подвергаются экспертизе. Поэтому далее мы будем исходить из того, что на этом этапе ошибок не допускается.
3. Принимается, что под влиянием случайных факторов цены аналогов отклоняются от их стоимостей. Это позволяет рассматривать (наблюдаемую) цену каждого аналога как реализацию случайной величины, распределение которой имеет центром стоимость этого аналога. Обычно в качестве такого центра принимается математическое ожидание и тогда стоимость аналога можно определить, построив по имеющейся выборке регрессионную зависимость цены аналога от значений его предиктора и подставив в нее значения предиктора у оцениваемого объекта.

Основное внимание в данной статье мы уделим последнему этапу описанной процедуры – установлению (построению) регрессионной зависимости цены объекта (z) от значения его предиктора (y). Обычно считается известной спецификация такой зависимости. Иными словами, принимается, что стоимость объекта (v) является известной функцией от значения его предиктора y и некоторого (вообще говоря, векторного) калибровочного параметра q: v=F(y, q). В таком случае возникает задача оценить неизвестный калибровочный параметр q по данным о ценах и значениях предиктора объектов-аналогов. Другими словами, надо подобрать такое q, чтобы равенство z=F(y,q) выполнялось возможно более точно для всех объектов выборки.

Для корректной постановки этой задачи необходимо также принять определенные допущения о характере случайных отклонений цен от стоимости. Нередко оценщики считают, что влияние случайных факторов на цену выражается аддитивной случайной добавкой к стоимости, имеющей нормальное распределение с нулевым средним значением и неизвестным среднеквадратичным отклонением (СКО). Тогда наблюдаемую цену (z_k) k-го аналога можно рассматривать как реализацию нормально распределенной случайной величины с центром F(y,q) и неизвестным СКО s. Для оценки объекта теперь надо будет установить не только калибровочные параметры зависимости, но и s.

Однако допущение о нормальности распределения цен от стоимостей можно убедительно подтвердить статистическими методами только для достаточно больших по объему выборок. При этом, чем больше калибровочных параметров включает регрессионная зависимость, тем больше должен быть объем необходимой для этого выборки. Мало того, даже при отсутствии ошибок в исходной информации нередко возникают «чрезмерно большие» отклонения цен от (рассчитанных по модели) стоимостей так называемые «выбросы», а распределение наблюдаемых отклонений отклоняется от нормального. В случае однофакторной зависимости (единственная основная характеристика) выявить «выбросы» можно, анализируя соответствующие точки (y,z) на графике, однако для многофакторных зависимостей сделать это становится значительно сложнее. Более того, выбирать «подходящую» спецификацию регрессионной зависимости и «подходящие» для нее значения калибровочного параметра q можно по-разному, и при этом «выбросами» могут оказаться каждый раз разные аналоги. Наконец, просто обнаружить «выброс» недостаточно, надо еще решить, что с ним делать. Казалось бы, проще всего исключить соответствующий объект из выборки. Сделать это необходимо, если такой объект оказался включенным в выборку по ошибке. В противном же случае такая операция может рассматриваться как «подгонка» результата оценки в «нужном» оценщику или его заказчику направлении. Более корректным было бы считать, что выборка сформирована правильно, а распределение цен отличается от нормального «более тяжелыми хвостами». Далее мы увидим, что такая ситуация на практике возникает достаточно часто.

Рассмотрим типичный случай, когда вероятностное распределение отклонений (e) цен от стоимостей известно с точностью до параметра масштаба (m), т.е. когда плотность этого распределения имеет вид m^-1h(e/m). Будем считать, что плотность h(x) принимает максимальное значение при x=0. В таком случае стоимости объектов – центры распределений случайных цен будут отвечать модальным («наиболее вероятным») значениям их цен, что, по сути, предусматривается стандартами оценки [1,2,3]. Такую модель правомерно записывать в более привычном виде: z=F(y,q)+e. Под спецификацией подобных моделей мы будем понимать набор учитываемых характеристик объектов (компонент вектора y), функцию F(y,q) и вероятностное распределение случайных отклонений e, т.е. функцию h(x). При правильно выбранном калибровочном параметре q величина v=F(y,q) при этом будет трактоваться как (рассчитанная по модели) стоимость объектов с предиктором y. Отметим, кстати, что если h(x) – четная функция (что обычно и принимается), то стоимости объектов v=F(y,q) будут одновременно и математическими ожиданиями их цен.

Описанная выше регрессионная модель содержит два неизвестных параметра q и m. Они должны оцениваться по данным о ценах и характеристиках выбранных аналогов. Некоторые методы такой оценки будут обсуждаться в следующем разделе статьи.

Робастная оценка параметров регрессионной зависимости

Обычно оценщики оценивают значение калибровочного параметра q методом наименьших квадратов (МНК), решая задачу:

МНК дает разумные оценки, если отклонения e цен от стоимостей имеют нормальное распределение. Однако, как уже отмечалось, на практике такое требование не всегда выполняется, и тогда возможные «выбросы» могут сильно исказить «оптимальные» значения q. Подобные ситуации моделируют следующим способом. Принимается, что для «основной массы» объектов выборки отклонения e имеют нормальное распределение с нулевым средним и неизвестной дисперсией s², тогда как для остальных объектов эти отклонения имеют какое-то иное, неизвестное заранее «засоряющее» распределение. Для оценки параметров уравнения регрессии в такой ситуации был предложен ряд процедур, более устойчивых к подобному «засорению». Подобные процедуры, начиная с работы Хьюбера [4], принято называть робастными.

Приведем несколько примеров подобных процедур для простейшего случая оценки параметров центра m и СКО s нормального распределения цен в условиях «засорения» выборки.

В данной конкретной ситуации центр распределения оценивается медианой выборочного распределения цен. При этом робастную оценку s находят, решая следующую задачу [5, 6]:

где b ≈ 0.676 – 75%-й квантиль стандартного нормального распределения.

Пример 2. В книге [4] предлагается следующий общий метод нахождения робастных оценок параметров сдвига m и масштаба s вероятностного распределения. Для этого определенным образом (в зависимости от вида распределения) подбираются функции y и  c и решается система уравнений:

а F – функция стандартного нормального распределения.

Для той же ситуации в [6] рекомендуется использовать, например, следующие функции y и c:

Отметим, что в [4,6] и ряде последующих работ предлагались и основанные на тех же идеях робастные методы оценки параметров регрессионных зависимостей. Не входя в подробное обсуждение достоинств и недостатков этих методов, отметим лишь три их характерные особенности.

1. Методы, предложенные в [4] ориентированы на выборки любого объема, в которых вероятность «засорения» заранее ограничена сверху (пусть и малым числом), тогда как в [6] принимается, что вероятность «засорения» убывает с увеличением объема выборки. Соответственно в литературе уделяется большое внимание асимптотическому поведению «оптимальных» оценок параметров при неограниченном увеличении объема выборки. К сожалению, в задачах оценки реальных активов объемы выборки невелики. Исключение составляют легковые автомобили, квартиры и офисные помещения (для них имеются большие базы данных), однако их стоимости определяются десятками ценообразующих факторов, измеряемых не только в числовой, но и в номинальной шкале. А тогда становится неясным, применимы ли «асимптотически оптимальные» методы к оценке, скажем двух десятков параметров зависимости при выборке в несколько тысяч единиц. Поэтому «асимптотическая оптимальность» робастного метода оценки параметров регрессионной зависимости не может быть веским доводом для его применения в условиях малой выборки или большого числа калибровочных параметров.
2. Известные робастные методы ориентированы на то, чтобы по возможности смягчить влияние сколь угодно больших по величине «выбросов». Другими словами, они учитывают возможность появления «сколь угодно грубых» ошибок в исходной выборке. Мы видим две основные причины, по которым цена какого-либо объекта выборки будет сильно отличаться от рассчитанной по уравнению регрессии. Одна из них существенно «нестандартные» условия сделки с этим объектом (скажем, вынужденная сделка, малый срок экспозиции на рынке или продажа в составе крупной партии идентичных объектов). В условиях, когда правильность формирования выборки контролируется заказчиком оценки, оценщиками-экспертами и банками, подобная ситуация обычно невозможна. Другая причина, по которой цена объекта может сильно отличаться от рассчитанной по уравнению регрессии отличие этого объекта от других аналогов по каким-то характеристикам, не отнесенным к числу основных (предикторов). Например, к аналогам оцениваемой машины может быть отнесена машина той же марки, оснащенная какими-то дополнительными приспособлениями или модернизированная силами владельца для более качественного выполнения некоторых операций. Однако обычно в состав основных характеристик объектов выборки включаются те, которые влияют на цену наиболее сильно (не случайно оценщики называют эти характеристики «ценообразующими»). А тогда влияние характеристик, не отнесенных к числу основных, не может быть слишком большим.
3. В известных робастных методах предполагается, что вид «истинного» (не «засоренного») распределения наблюдаемых цен известен точно, неизвестны лишь его параметры. Между тем, при оценках идентичных объектов разные оценщики нередко выбирают разные виды зависимости стоимости объектов от их основных характеристик, рассматривая несколько альтернативных вариантов функций F(y,q). При этом разные варианты могут различаться по составу основных характеристик и по количеству параметров, образующих вектор q. Для каждого из таких вариантов можно с помощью указанных и аналогичных методов оценить значения параметров, однако остается неясным, как следует выбирать «наиболее подходящий» вариант функции регрессии.

Заметим для начала, что если бы вероятностное распределение случайных цен было известно с точностью до его калибровочного параметра q, то найти подходящую оценку этого параметра можно было бы с помощью метода максимального правдоподобия (ММП). Так, если бы распределение цен было нормальным, а его дисперсия не зависела от характеристик объекта, ММП привел бы к формуле (1) для нахождения центра распределения, т.е. превратился бы в метод наименьших квадратов (МНК). А в случае, когда цены имеют распределение Лапласа с плотностью, ММП приводит к методу наименьших модулей (2), устойчивому по отношению к любым «выбросам», но недостаточно точному (не говоря уже о том, что фактически наблюдаемые распределения отклонений цен от регрессионных зависимостей довольно далеки от распределения Лапласа).

Казалось бы, такой вывод не согласуется с оценочной практикой. Ведь в подавляющем большинстве случаев оценщики используют методы, ориентированные на нормальное распределение отклонений, и получают при этом разумные результаты. Более того, во многих случаях они проверяют нормальность распределения, используя соответствующие статистические критерии. Однако эти обстоятельства не противоречат нашему мнению о ненормальности закона распределения таких отклонений. Дело в том, что в подавляющем большинстве случаев характеристики оцениваемого объекта близки к средним по выборке. При этом наличие больших «выбросов может сильно изменить калибровочные параметры регрессионной модели, но мало скажется на рассчитанной по этой модели стоимости оцениваемого объекта. Далее, применяемые оценщиками критерии нормальности проверяют близость выборочного и распределения к нормальному по некоторым характеристикам (например, эксцессу). Если выборка мала, то «доверительный интервал», в котором должна лежать характеристика выборочного распределения, оказывается очень широким. Но тогда критерии нормальности всего лишь не позволяют отвергнуть гипотезу о нормальности распределения цен (или отклонений цен от стоимостей). А вот критериев для сравнения выборочного распределения с другими возможными распределениями оценщики не применяют. Более того, не применяют они и достаточно мощных критериев Колмогорова, Смирнова, w², Андерсона-Дарлинга и др. [7], оценивающих близость функций выборочного распределения к функции нормального распределения во всем диапазоне изменения аргумента. Все дело в том, что такие критерии могут подтвердить нормальность лишь при достаточно большом объеме выборки. Приведем пример.

Отметим теперь, что, в отличие от методов наименьших квадратов и наименьших модулей, ММП позволяет выбирать и наиболее правдоподобную спецификацию регрессионной зависимости. Например, с его помощью можно сравнивать зависимость, в которой отклонение e имеет нормальное распределение, с другими ее вариантами:

• , где отклонение e имеет нормальное распределение;
• , где отклонение e имеет логистическое распределение.

• слабо реагируют на достаточно большие «выбросы»;
• дают достаточно точные результаты в случае, когда распределения цен близки к нормальному;
• позволяют выбирать лучший из нескольких вариантов функции регрессии.

Методы максимального правдоподобия, ориентированные на альтернативные распределения цен

Разумеется, существует много распределений, которые при малых отклонениях от центра близки к нормальному, но имеют экспоненциально убывающие хвосты. Как уже отмечалось, мы ограничиваемся распределениями с плотностями вида, где m и m параметры центра и масштаба. В табл. 1 приведены четыре таких распределения (с параметрами соответственно m=0 и m=1), пригодных, по нашему мнению, для использования в задачах стоимостной оценки машин и оборудования. Для сравнения там же приведено и нормальное распределение.

Таблица 1

Распределение	Функция распределения F(x)	Функция плотности распределения p(x)	СКО
Нормальное (N)			1
Логистическое (LS)
Гиперболического секанса (HS)			p/2
(EL)			2

Рассматривается группа отобранных оценщиком объектов-аналогов. Все объекты характеризуются одним и тем же набором характеристик. Значения этих характеристик для k-го объекта образуют вектор y_k. Цена каждого k-го объекта (z_k) рассматривается как реализация случайной величины, имеющей одно из указанных распределений с центром F(y_k, q) и параметром масштаба m. Векторный параметр q и параметр масштаба m теперь могут быть оценены методом максимального правдоподобия, т.е. из условия:

Нередко более подходящими оказываются модели, где вместо цен и стоимостей объектов используются их логарифмы. Тогда соответствующая регрессионная модель имеет вид:, а наиболее правдоподобные значения параметров q  и m оцениваются. из условия:

Удобно выполнять расчеты в одной электронной таблице сразу для всех четырех указанных в таблице распределений. Наименьшему значению L будет отвечать и наиболее правдоподобное распределение, а значит, и наиболее правдоподобное значение искомого параметра регрессионной зависимости q. Отметим особо, что этому параметру может не отвечать минимальное значение параметра масштаба m (и пропорциональное ему СКО).

Примеры робастной оценки параметров регрессионной зависимости

lnz=lnA + alnX + e      (5)

Расчеты проводились при четырех (указанных в табл. 1) распределениях случайной ошибки e. На рис. 1 представлены исходные данные (обозначенные fact) и регрессионные зависимости, отвечающие нормальному и наиболее правдоподобному HS распределениям, в табл. 3 – значения параметров модели a, a и m и рассчитанного по формуле (4) логарифмического правдоподобия L для всех вариантов расчета.

Таблица 3

Пример 4. По данным 20 автокранов «Галичанин» КС 55713 и КС 55731 грузоподъемностью 25 т разных марок (моделей, модификаций) строится степенная регрессионная зависимость их цен (z, млн. руб.) от длины стрелы (y, м). В логарифмической форме она имеет вид:. На рис. 2 представлены исходные данные и регрессионные зависимости, отвечающие нормальному и наиболее правдоподобному HS распределениям, в табл. 4 – значения параметров модели a, a и m  и рассчитанного по формуле (4) логарифмического правдоподобия L для всех вариантов расчета.

Таблица 4

Таблица 5

Выборка включала 49 подержанных машин, выставленных на продажу в 2014 г., а коэффициент A, отражающий стоимость новой машины (возраста 0 лет) был определен отдельно по данным первичного рынка и составил 2.45 млн. руб. Таким образом, необходимо было оценить только параметры a, a и g  этой модели. Исходные данные, результаты расчетов и значения рассчитанного по формуле (4) логарифмического правдоподобия L для всех вариантов распределения случайной ошибки  e представлены на рис.3 и в табл. 6.

Таблица 6

Поскольку в выборке представлены только квартиры с числом комнат от 1 до 4, то в данной задаче необходимо оценить пять калибровочных параметров: A, a, f(2), f(3), f(4), а также параметр масштаба распределения m. Результаты расчетов наиболее правдоподобных значений этих параметров при разных спецификациях распределения случайной ошибки e представлены в табл. 8.

Таблица 8

Выводы