Везде
Об инвариантности оптимального управления линейной экономической системой при одновременном масштабировании ее параметров
Оглавление
Аннотация Оценить Содержание публикации
Библиография Комментарии
Поделиться
QR
Метрика
Об инвариантности оптимального управления линейной экономической системой при одновременном масштабировании ее параметров
Аннотация
Код статьи
S111111110000084-5-1
DOI
10.33276/S0000084-5-1
Тип публикации
Статья
Статус публикации
Опубликовано
Авторы
Паламарчук Екатерина Сергеевна 
Должность: Ведущий научный сотрудник
Аффилиация: Центральный экономико-математический институт РАН
Адрес: Российская Федерация, Москва, Нахимовский проспект, 47
Выпуск
Том 1 Выпуск 2
Аннотация
Рассматривается задача управления линейной экономической системой, представляемая в виде стохастического линейно-квадратического регулятора на бесконечном интервале времени при динамическом масштабировании коэффициентов в уравнении состояния и целевом функционале. Используемые критерии оптимальности представляют собой обобщения долговременного среднего и потраекторного долговременного среднего. При этом в качестве нормировки целевых функционалов применяется интеграл от масштабирующей функции. Показано, что вид оптимального управления инвариантен по времени и может быть получен на основе установившейся оптимальной стратегии, известной для автономной системы.
Ключевые слова
стохастический линейно-квадратический регулятор, инвариантность, масштабирование, алгебраическое уравнение Риккати
Источник финансирования
Работа выполнена в рамках НИР «Теория и методы для компьютерного и математического моделирования и анализа общественных систем и процессов», номер государственной регистрации АААА-А18-118021990120-2.
Классификатор
Получено
27.09.2018
Дата публикации
13.12.2018
Всего подписок
13
Всего просмотров
1998
Оценка читателей
0.0 (0 голосов)
Цитировать Скачать pdf
1 Введение
2 Рассматривается задача оптимального управления линейной экономической системой, функционирующей в условиях неопределенности на долгосрочном временном интервале. Динамика состояния системы задается при помощи управляемого случайного процесса, а воздействие случайных факторов моделируется аддитивным винеровским шумом. В качестве целевого функционала используется интегральный квадратичный функционал за плановый период. Матрицы коэффициентов системы управления определяются на основе динамического масштабирования стандартной системы с постоянными параметрами. Показывается, что оптимальный закон управления носит инвариантный характер, т.е. в явном виде не зависит от времени, а критерии оптимальности включают нормировки целевого функционала с учетом совокупного масштабирования (интеграла от масштабирующей функции).
3 Описание модели и основные предположения
4 Пусть на полном вероятностном пространстве задан n-мерный случайный процесс, описываемый уравнением
5

6 где - d-мерный стандартный винеровский процесс, - допустимое управление, или k- мерный процесс, согласованный с фильтрацией, , такой что уравнение (1) имеет решение; A, B, G- матрицы соответствующих размерностей,G≠0; - неслучайный вектор. Множество допустимых управлений обозначим U. В (1) αt>0, t≥0 - масштабирующая функция. Уравнение вида (1) ранее рассматривалось в различных приложениях при частичном масштабировании коэффициентов, см. (Karafyllis, Tsinias, 2003; Smith, Ratcliff, Sewell, 2014).
7 Для любого T>0 определим целевой функционал издержек
8

9 где - допустимое управление на интервале [0,T], Q, R, - постоянные матрицы, неотрицательно определенная и положительно определенная соответственно (- транспонирование). При наличии монотонной функции αt>0 в (2), αt можно придать смысл дисконтирующей. Положительное дисконтирование возникает для убывающей αt, а отрицательное имеет место в случае, когда αt - возрастает, см. (Паламарчук, 2015).
10 Обращаясь к анализу (1)-(2) в ситуации масштабирования, отметим, что если функция αt является монотонной и α0=1, то при αt>1 имеем инфляцию (рост абсолютных значений) коэффициентов, случай , аналогичен «гиперинфляции».
11

Ситуация означает отсутствие масштабирования, постоянство коэффициентов во времени и соответствует автономной системе управления. Если же αt, , приводит к вырождению матриц. 
12

Далее формулируются предположения, в рамках которых будут получены основные результаты исследования.

Предположение . Масштабирующая функция αt>0, t≥0 является интегрируемой и .

Предположение P. Пара матриц (A,B) - стабилизируема, пара матриц  - выявляема (соответствующие определения см., напр., в (Дэвис, 1984, с.167-168)).
13 Постановка задачи и описание оптимальной установившейся стратегии управления
14 Хорошо известно, см. (Квакернаак, Сиван, 1977, Теорема 3.7, с. 275), что при условии выполнения предположения P существует так называемый оптимальный установившийся закон управления U*, имеющий вид
15

(3)
16 где матрица П является единственным неотрицательно определенным решением алгебраического уравнения Риккати
17

(4)
18 Для системы с постоянными параметрами стратегия U* оказывается решением задачи управления на бесконечном интервале времени с критерием долговременного среднего, см., напр., (Дэвис, 1984, Теорема 5.4.3, с. 169), а также вероятностного критерия потраекторного среднего (потраекторного эргодического):
19 (5)и с вероятностью 1.
20 При этом оптимальное значение обоих критериев совпадает и равно ((tr (.) - след матрицы).
21 Как было показано в (Паламарчук, 2016), приведенные критерии адекватно отражают воздействие фактора неопределенности на оценку качества управления только для случая системы (1)-(2) с ограниченными коэффициентами и невырожденной матрицей диффузии в (1). В рассматриваемой ситуации одновременного масштабирования параметров (1)-(2) для сравнении стратегий управления при будут использоваться понятия обобщенного долговременного среднего и обобщенного стохастического долговременного среднего, введенные в (Белкина, Паламарчук, 2013) для переменной матрицы Gt, когда в (5) вместо нормировки T используется. В данном случае, и в следующем разделе будет приведен результат о виде оптимального закона управления.
22 Основные результаты
23 Основным результатом работы является следующее утверждение.
24 Теорема.
25 Пусть выполнены предположения и P. Тогда закон управления U*, определяемый в (3)-(4), является оптимальным по критериям обобщенного долговременного среднего и обобщенного стохастического долговременного среднего, т.е. решением задач
26 и с вероятностью 1.
27 При этом оптимальная траектория задается уравнением
28

29 Значение критериев на оптимальном управлении равно
30

31 Полученный результат характеризует инвариантность решения задачи управления системой с масштабированием на бесконечном интервале времени. Вид управления U* совпадает с оптимальной стратегией, найденной для случая автономной системы. Значения соответствующих критериев оптимальности при использовании U* также остаются без изменений. Следует отметить, что подобная инвариантность в задачах стохастических линейных регуляторов с переменными параметрами может возникнуть и при других предположениях. Например, в работе (Czornik, 1998), где рассматривалась система с асимптотически постоянными матрицами

Библиография

1. Белкина Т.А., Паламарчук Е.С. О стохастической оптимальности для линейного регулятора с затухающими возмущениями // Автоматика и телемеханика. 2013. № 4. С. 110-128.

2. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984.

3. Квакернаак X., Сиван P. Линейные оптимальные системы управления. М.: Наука, 1977.

4. Паламарчук Е.С. Анализ критериев долговременного среднего в задаче стохастического линейного регулятора // Автоматика и телемеханика. 2016. № 10. С. 78-92.

5. Паламарчук Е.С. Стабилизация линейных стохастических систем с дисконтированием: моделирование долгосрочных эффектов применения оптимальных стратегий управления // Математическое моделирование. 2015. Т. 27, № 1. С. 3-15.

6. Czornik A. On time-varying LQG // IFAC Proceedings Volumes. 1998. Vol. 31. No. 18. P. 411-415.

7. Karafyllis I., Tsinias J. Non-uniform in time stabilization for linear systems and tracking control for non-holonomic systems in chained form //International Journal of Control. 2003. Vol. 76. No. 15. P. 1536-1546.

8. Smith P.L., Ratcliff R., Sewell D.K. Modeling perceptual discrimination in dynamic noise: Time-changed diffusion and release from inhibition // Journal of Mathematical Psychology. 2014. Vol. 59. P. 95-113.

Комментарии

Сообщения не найдены

Написать отзыв
Перевести