About estimates of the parameters of the GDP model based on the superposition of technological waves by N. D. Kondratiev
Table of contents
Share
QR
Metrics
About estimates of the parameters of the GDP model based on the superposition of technological waves by N. D. Kondratiev
Annotation
PII
S265838870012977-7-1
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Petr Andrukovich 
Occupation: Senior researcher
Affiliation: CEMI RAS
Address: Moscow, Nachimovky prospect 47
Abstract

This publication is a continuation of the article (Andrukovich P. F., 2018), in which   to builda model of GDP dynamics based on the superposition of long waves by N. D. Kondratiev it was proposed . This model, called the DV-trend, was further applied to describe the dynamics of US GDP for the period from 1790 to 2018 in (Andrukovich P. F., 2020b). It was noted that when estimating the parameters of the DV-trend, computational problems arise related to the structure of the model itself and with theoretical restrictions on the type of long waves of N. D. Kondratiev. In this article, these problems are discussed based on the analysis of a series of calculations for estimating the parameters of models built to describe the dynamics of GDP in the United States and great Britain. It is shown that the usual statistical methods for estimating parameters, even when calibrating a significant part of them, give values that do not correspond to the theoretical concepts of the form of long Kondratiev waves. In this regard, to obtain the correct values of the DV-trend parameters, it is proposed to use the expert method of their estimation (Andrukovich P. F., 2020a). The results of calculations to estimating the parameters of the DV-trend using this method when constructing models of GDP in the UK and the USA are discussed . It is shown that the model parameters obtained in this way correspond to the main provisions of the theory of long waves, both in terms of the shape of the technological waves themselves and the structure of their aggregate as a whole.

Keywords
GDP dynamics, N. D. Kondratiev, cross-country comparisons, parameter estimation, periodic function, technological waves, econometric models
Received
08.12.2020
Date of publication
22.12.2020
Number of purchasers
14
Views
1593
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf
Additional services access
Additional services for the article
Additional services for all issues for 2020
1

Минимум остаточной дисперсии далеко не всегда совпадает с максимумом здравого смысла.

2

Введение

3

Вопросу о роли технологических волн Н.Д. Кондратьева в экономике (Кондратьев Н.Д., 1925, 2002), после долгих лет забвения его теории в русскоязычной экономической литературе, в настоящее время, начиная с публикаций С.М. Меньшикова и Л.А. Клименко (Меньшиков С.М., Клименко Л.А., 1989), С.Ю. Глазьева (Глазьев С.Ю., 1993), Ю.В. Яковца (Яковец Ю.В., 1993), В.И Маевского (Маевский В.И., 1994), уделяется большое внимание. Важный вклад в построение математических моделей технологических волн и их взаимосвязи с динамикой ВВП внесли работы А.А. Акаева и М. Хироока (Акаев А.А., Хироока, 2009; Акаев А.А., 2012), С.В. Дубовского (Дубовский С. В., 2012), В.А. Садовничего с соавторами (Садовничий В.А. и др., 2012), а в более широком плане – в исследованиях А.В. Коротаева и С.В. Цирель (Коротаев А.В., Цирель С.В., 2010), С.Ю. Малкова и С.Г. Кирдиной (Малков С.Ю. и Кирдина С.Г., 2010), В.Е. Дементьева (Дементьев, В.Е., 2012), Л. Е. Гринина (Гринин, Л. Е., 2012) и других авторов.

4 Однако в исследованиях, связанных с построением моделей динамики ВВП на основе теории длинных волн, в качестве основного тренда, определяющего эту динамику, обычно вводится экзогенный тренд, напрямую не связанный с зарождением, активной фазой и снижением роли технологических волн в экономических процессах (далее Т-волны)1. Для исключения такого экзогенного тренда из моделей динамики ВВП, построенных на основе Т-волн, в работе (Андрукович, П.Ф. 2018), была предложена модель тренда ВВП, основанная на суперпозиции нескольких Т-волн Н.Д. Кондратьева. Эта модель, названная ДВ-трендом, была далее применена к описанию динамики ВВП США, измеренном в постоянных ценах, за период с 1790 по 2018 гг. (Андрукович П.Ф., 2020б), и при сохранении общепринятых представлений о характере и виде отдельных Т-волн и их структуры в целом, дала адекватное описание динамики ВВП США. В данной статье подробно анализируются проблемы получения оценок параметров модели ДВ-тренда, которые были отмечены в упомянутой выше работе.
1. Исключением здесь является, в определенной мере, публикация (Акаев А.А., Хироока, М., 2009), где такая связь была намечена через понятие "инфратраекторий".
5

Модель ДВ-тренда

6 Для того чтобы не отсылать читателя к предыдущим публикациям, посвященным построению модели ДВ-тренда, повторим определение ее вида. Основой этой модели является предположение о том, что Т-волна имеет синусоидальную форму, а ее значение в момент времени τi есть добавленная стоимость, созданная за период (τi–1, τi]. Модель Т-волны зависит от четырех параметров и имеет вид:
7 Кiτi=λi*1+expαi*τi*sinβi*τi+ δi,                        (1)
8

где λi – амплитуда синуса, экспоненциально снижающаяся во времени с параметром αii<0), 2π/βi – ее период, δi – фаза и τi – условное время, отсчитываемое от некоторого реального момента времени Ti,нач., своего для каждой i-той Т-волны2. Будем считать также, что Кii)≥0 для всех τiϵ[Ti,нач, Ti,кон], и в момент τi=Ti,нач.=0, Кii)=0. Для выполнения этого условия положим δi=−π/2 и добавим к значению синуса в этой точке (и во все следующие моменты времени) величину амплитуды λi, как это и сделано в формуле (1).

 

2. Во всех приведенных далее таблицах вместо значения параметра αi, величина которого в "натуральном" виде мало информативна, дается интервал времени Θ, на котором амплитуда Т-волны снижается в два раза: Θ=Ln(2)/αi.
9 Из определения Т-волны как прироста ВВП за период (τi –1, τi], понятно, что сумма ее значений от момента τi=Ti,нач. до какого-то момента времени Тi,тек.ϵ[Ti,нач, Ti,кон], дает вклад данной Т-волны в значение ВВП в данный момент времени. То есть вклад i-той Т-волны в величину ВВП в момент времени Тi,тек равен:
10 QiTi,тек=τi=0Ti,текКiτi                                                                                (2)
11 Понятно, что значения Qi(Ti,тек), в связи с тем, что Кi(τi) ≥ 0 для всех τi, монотонно растут. Этот показатель будем называть далее К-трендом.
12 Основой же модели ДВ-тренда в целом является положение о том, что влияние i-той Т-волны на динамику технологического развития не заканчивается после ее первого, наиболее активного, периода воздействия на экономические процессы, а продолжается и в дальнейшем. В связи с этим, модель ДВ-тренда представляет собой сумму К-трендов:
13 Gt=i=1NQit,                                                                                      (3)
14 где i – номер Т-волны, N – их число, и t есть реальное время (например, номер года), одинаковое для разных Т-волн из отрезка T0 t ≤ Tкон.. Здесь T0 = min{Ti,нач.} по iϵ[1,N] и Ткон. – момент времени, одинаковый для всех Т-волн и определяемый длительностью изучаемого с помощью данной модели периода. Функция G(t) является общей моделью, которая аккумулирует в своих значениях суммарную динамику всех Т-волн, действующих в экономике в момент времени t. Именно она и была названа выше ДВ-трендом3.
3. В связи с тем , что ДВ-тренд является суммой нескольких Т-волн, его можно назвать сплайном (Алберг Дж., ets, 1972), если не учитывать, однако, того существенного факта, что Т-волны не "склеены" друг с другом последовательно, а "накладываются" друг на друга.
15

В дополнение к формальному описанию данной модели отметим, что очередная Т-волна возникает по этой модели не после окончания действия предыдущей Т-волны, а на том или ином этапе ее развития. Как подчеркивает В.Е.Дементьев: "…очередная технологическая революция начинается не с «чистого листа», а в недрах существующей экономической системы. Жизненные циклы технологий разных волн пересекаются, причем во многих случаях происходит их взаимопроникновение." (Дементьев В.Е., 2016, стр. 41). Такая структура Т-волн приводит к значительному удлинению их периодов – до 100 - 120 лет – относительно принятых в классической теории их длительностей в районе 50 - 60 лет4. Кроме того предполагается, что длина этих периодов сокращается во времени, от первой Т-волны к последней, в связи с ускорением процессов внедрения новых технологий за счет феномена все большей и большей глобализации во всех областях человеческой деятельности и, в частности, в экономике. Предполагается также, что к настоящему моменту времени возникли – и продолжают действовать – пять Т-волн (N=5), на которых и основывается динамика ДВ-тренда5. Важным элементом модели ДВ-тренда, о котором не говорилось выше, являются также доли К-трендов в ДВ-тренде, так как именно они говорят о том, в какие периоды времени та или иная Т-волна становится главной составляющей роста ВВП.

4. Понятно, что определение начала очередной Т-волны со слишком высокой точностью – например, до года - некорректно. Обычно при определении ее начала имеют в виду интервал в 5 – 10 лет (Андрукович П.Ф., 2020б, табл. 1). В связи с этим во всех дальнейших расчетах этот параметр приводится кратным 5 годам, хотя в принципе его можно, конечно, определить и с точностью до года (см. здесь далее, табл. 1).

5. Шестая Т-волна, которая, по мнению многих исследователей, только начала свое восходящее движение в мировой экономике, в данные расчеты не была введена в связи с малым временем ее существования.
16 Все проведенные в рамках данного исследования расчеты реализованы на данных о динамике ВВП США (млрд. долларов 2012 г.) и ВВП Великобритании (млрд. фунтов стерлингов 2016 г.) за период с 1790 по 2018 гг., взятых с сайта >>>> .
17

Традиционный статистический подход к оценке параметров ДВ-тренда

18

Как видно из формул (1) – (3), G(t) представляет собой нелинейную по параметрам многоэкстремальную функцию с общим числом параметров 4*N. Общепринятым методом нахождения оценок параметров таких функций является использование традиционных статистических методов, при которых все 4*N параметров этой модели определяются с помощью метода наименьших квадратов или каких-то других методов поиска глобальных минимумов для нелинейных по параметрам функций (далее – НМНК). Использование такого подхода к оценке параметров ДВ-тренда с помощью каких-то вариантов НМНК на первый взгляд и здесь представляется наиболее естественным. Однако, найденные таким образом значения параметров оказываются несоответствующими виду и структуре Т-волн. Приведем для примера результаты двух расчетов, сделанных в рамках такого подхода – то есть без каких-либо ограничений на параметры ДВ-тренда – выбранных случайно, из большого числа расчетов, проведенных для разных начальных значений параметров этих волн, при моделировании динамики ВВП США и Великобритании за период с 1790 по 2018 годы 6.

6. Этот вариант расчета, в котором не задан ни один параметр, будет обозначаться далее как Вариант 0.
19 Как видно из данных табл. 1 и рис. 1, оценки параметров Т-волн, как и характер самих Т-волн, никак не соответствует теоретическим представлением о их структуре. Так, например, в модели для ВВП США первая Т-волна, по оценке НМНК, началась в 1573 году, следующая, вторая Т-волна – всего через четыре года, в 1577 г., третья Т-волна – через 223 г., в 1800 г. и т.д. (табл. 1, Пример 0.1)7. Периоды Т-волн варьируются от 3 до 408 лет, у первой Т-волны начальная амплитуда отрицательна, а значение начальной амплитуды пятой Т-волны, которая, учитывая динамику ВВП США, должна быть больше начальной амплитуды четвертой Т-волны, снижается, и т.д.
7. Начала Т-волн, определенные в данном расчете, не совпадали с их естественным упорядочением. В табл. 1, для более ясного понимания полученной структуры совокупности Т-волн, они переупорядочены по году их начала. Аналогичное переупорядочение сделано в табл. 1 и для ВВП Великобритании.
20

Таблица 1. Вариант 0. Примеры оценок по НМНК всех параметров Т-волн для ВВП США и ВВП Великобритании.

№ волны Год начала Период (годы) Начальная амплитуда* Θ (годы)** Год начала Период (годы) Начальная амплитуда* Θ (годы)**
Пример 0.1. США Пример 0.2. Великобритания
1-я Т-волна 1573 408 -0,26 44,7 1700 27 4,92 -1,7
2-я Т-волна 1577 137 0,00 23,0 1725 15 -2,09 -3,0
3-я Т-волна 1800 3 1,26 -0,1 1865 215 0,39 19,9
4-я Т-волна 1941 10 5,35 14,2 1880 8 0,00 -5,6
5-я Т-волна 1965 245 0,20 -33,2 1938 1597 0,13 -26,3

Источник: www.measuringworth.com, расчеты автора. * Для США – млрд. долларов 2012 г., для Великобритании – млрд. фунтов стерлингов 2016 г. ** Здесь и во всех дальнейших таблицах "+" означает рост начальной амплитуды, а "-" - снижение.

21

22 Кроме того, у трех из пяти Т-волн – первой, второй и четвертой – начальные амплитуды растут во времени8. При этом третья Т-волна с длиной периода в три года и снижением начальной амплитуды в два раза за 1,3 месяца сразу превращается в константу, четвертая Т-волна, с периодом в 10 лет, имитирует циклы Жигляра (что особенно хорошо заметно в конце исследуемого периода), а вторая Т-волна меняет знак на протяжение всего этого периода (рис. 1а). Заметим также, что при таком методе оценок параметров Т-волн, их значения входят в модель ДВ-тренда на всем протяжении данного временного периода, с 1790 по 2018 г., в то время как они должны быть равны нулю до момента Ti,нач. Так, например, пятая Т-волна, имевшая "начало" в 1965 г., влияет на значения ДВ-тренда на всем временном интервале с 1790 по 2018 гг. и т.д.
8. Рост начальных амплитуд во времени заставляет в таких случаях говорить далее не о снижении начальных амплитуд, а о их изменениях.
23 Многочисленные несоответствия оценок НМНК теоретическим представлениям имеются и в примере с ВВП Великобритании (Пример 0.2). Это хорошо видно из правой части табл. 1 и рис. 1б. Так, если начала волн первых двух Т-волн не так одиозны, как в модели ВВП США, тем не менее, разница между первой и второй Т-волнами составляет всего 25 лет, потом идет перерыв в 140 лет., а длительность периодов меняется от 8 лет до более, чем полутора веков (табл. 1, Пример 0.2). Величины начальных амплитуд меняются от предыдущей волны к последующей совершенно неупорядоченно, а три из пяти Т-волн – первая, вторая и четвертая – почти сразу, через 1,7 года, 3 года и 5,6 лет становятся константами на уровне своей начальной амплитуды (табл. 1, Пример 0.2).
24

Из представленных выше результатов понятно, что традиционный статистический метод оценок параметров G(t), в силу достаточно жестких теоретических ограничений на годы начала Т-волн и на длительность их периодов, в данном случае использован быть не может. При этом введение ограничений на значения параметров так же не дает желаемого результата, так как, во-первых, при этом надо задать 20 ограничений (сверху и снизу на начало волны и длину ее периода для всех пяти Т-волн) различных для разных стран, и, во вторых, алгоритм НМНК может выйти на эти границы, не найдя удовлетворительного решения ни с содержательной точки зрения, ни по оценке близости модели к динамике соответствующего ВВП.9.

9. Заметим также, что априори нет оснований считать, что значения параметров G(t), даже соответствующие его глобальному минимуму, будут корректными с точки зрения теории длинных волн. Более того, можно достаточно обоснованно полагать, что такого рода утверждения верны и для любых других случаев применения НМНК, даже для линейных уравнений регрессии (Андрукович П.Ф., 2020а).
25

Калибровка параметров

26

Из сказанного выше следует, что для получения корректных оценок параметров ДВ-тренда необходимо задать, или, как часто говорят, калибровать, как минимум, хотя бы годы начала Т-волн, рассчитывая на то, что такое априорное задание части параметров поможет получить, в рамках НМНК алгоритмов, приемлемое решение. При этом, однако, возникают значительные трудности в выборе априорных значений этих параметров при моделировании ВВП разных стран, даже для таких традиционных параметров Т-волн, как их начало и длина периодов – которые то в рамках классической теории могут меняться в ограниченных временных интервалах – и, тем более, для таких их параметров, как начальная амплитуда Т-волны и скорость ее снижения, которые определяются только объемом и динамикой ВВП соответствующей страны.

27

В рамках данного исследования были проведены многочисленные расчеты при априорном задании различных комбинаций параметров и различных начальных значениях "свободных", некалиброванных параметров в каждой такой комбинации. Ниже приведены для примера четыре варианта расчетов, для ВВП США и ВВП Великобритании, выбранных, как и в предыдущем примере, случайно, при калибровке одного, двух и трех параметров. В первом из них задавались только годы начала Т-волн (Вариант 1), во втором - годы начала Т-волн и длительности их периодов (Вариант 2), в третьем варианте к этим параметрам добавились величины начальных амплитуд Т-волн и рассчитывались скорости снижения этих амплитуд (Вариант 3), а в четвертом добавились скорости снижения амплитуды Т-волн и рассчитывались величины их начальных значений (Вариант 4)10. К сожалению, во всех этих вариантах, кроме Варианта 4, решения оказались некорректными.

10. Задание других одиночных параметров и их пар здесь не рассматриваются в связи с получением таких же некорректных с теоретической точки зрения оценок параметров Т-волн, как и оценки, полученные в данных четырех вариантах. Для получения сопоставимых результатов значения калиброванных параметров, использованных в данных вариантах, были взяты из одного и того же расчета, описание которого дано в разделе 6 данной статьи.
28

Вариант 1. Так, в модели для ВВП США (Пример 1.1) о некорректности решения, полученного по НМНК, свидетельствуют длины периодов Т-волн, меняющиеся от 24 до 2000 с лишним лет, уход в отрицательную область значений второй и третьей Т-волн (рис. 2а и 2в) и рост амплитуд всех Т-волн, кроме первой. При этом, например, четвертая Т-волна удваивает свою амплитуду примерно за 7 лет, то есть более чем в восемь раз за период (23), а третья Т-волна удваивает свою амплитуду за шесть с половиной веков (табл.2). С точки зрения общей структуры Т-волн неприемлемыми оказывается также и значения начальных амплитуд, которые должны увеличиваться от волны к волне, а не снижаться, потом расти и снова снижаться, как это происходит в данном варианте расчета, при том, что начальная амплитуда четвертой Т-волны еще и отрицательна (табл. 2, левая часть). Эта несоответствующая теории динамика Т-волн и приводит к той "чехарде" долей К-трендов, которая показана на рис. 2д.

29

Таблица 2. Вариант 1. Оценки параметров Т-волн по НМНК при априорном задании начала Т-волны для ВВП США и ВВП Великобритании.

№ волны Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. $) Θ (годы) Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. ₤) Θ (годы)
Пример 1.1. США Пример 1.2. Великобритания
1-я Т-волна 1770 2019 16,0 -46,2 1745 1457 10,25 -46,2
2-я Т-волна 1820 99 1,4 26,8 1800 111 0,01 16,3
3-я Т-волна 1865 286 56,3 657,1 1845 3320 5,73 -172,9
4-я Т-волна 1925 24 -0,1 7,1 1925 24 0,00 6,7
5-я Т-волна 1965 84 92,8 24,4 1965 137 39,87 27,9

Примечание: Жирным шрифтом выделены калиброванные значения параметров из формулы (1). Данные: www.measuringworth.com расчеты автора.

30 Аналогичная, если даже не более яркая, картина имеет место в модели ДВ-тренда для ВВП Великобритании (Пример 1.2). Так, длины периодов меняются здесь от 24 до 3320 лет, значения второй и четвертой Т-волн меняют свой знак, а амплитуды второй, четвертой и пятой Т-волн растут во времени (табл. 2, правая часть, рис. 2б и 2г). При этом амплитуда второй Т-волны, например, увеличивается почти в 130 раз (27) за период. Так же, как и в модели для ВВП США значения начальных амплитуд меняются совершенно произвольно и т.д. Еще более экзотичными, чем для случая ВВП США, выглядят в данном случае доли К-трендов в ДВ-тренде (рис. 2е).
31

32

Вариант 2. Как показывают результаты расчета, при данном варианте калибровки в модели для ВВП США (Пример 2.1) добавление к априорно заданным значениям еще одного параметра – длины волны – полностью изменила конфигурацию Т-волн, однако нисколько не улучшила при этом ни вид отдельных Т-волн, ни их общую структуру (табл. 3, рис. 3а, 3в). Об этом, в частности, свидетельствует тот факт, что три Т-волны – первая, третья и пятая – практически сразу превращаются в константы за счет почти нулевого времени их снижения вдвое: 0,84 месяца для первой и третьей Т-волны и 0,36 месяца для пятой Т-волны. При этом вторая Т-волна за счет роста – а не снижения – начальной амплитуды, на какое-то время принимает отрицательные значения (рис. 3в и 3г) и т.д. Все эти несоответствия теоретическим представлениям о виде Т-волн и приводят к тем "затейливым" изменениям долей Т-волн в ДВ-тренде, которые можно видеть на рис. 3д.

33

34

Таблица 3. Вариант 2. Оценки параметров Т-волн по НМНК при априорном задании начала Т-волны и длины периода для ВВП США и ВВП Великобритании.

№ волны Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. $) Θ (годы) Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. ₤) Θ (годы)
Пример 2.1. США Пример 2.2. Великобритания
1-я Т-волна 1770 120 0,0 -0,07 1745 130 0,13 -0,37
2-я Т-волна 1820 120 1,3 26,08 1800 120 0,63 -0,12
3-я Т-волна 1865 120 7,8 -0,07 1845 110 1,46 -0,07
4-я Т-волна 1925 100 121,1 -7,48 1925 100 4,74 -0,05
5-я Т-волна 1965 90 50,0 -0,03 1965 100 20,69 -0,04

Примечание: Жирным шрифтом выделены калиброванные значения параметров из формулы (1). Источник: www.measuringworth.com, расчеты автора.

35 В том же варианте расчета, но для ВВП Великобритании (Пример 2.2), НМНК решил задачу самым простым образом, превратив все Т-волны – за счет еще бóльшего сокращения периода снижения их значений вдвое, чем в расчете для ВВП США (от 15 дней для пятой Т-волны до 4,5 месяцев для первой Т-волны) – в прямые, идущие параллельно оси абсцисс на уровне их начальных амплитуд (табл. 3, рис. 3б и 3г). Такая структура Т-волн и привела к тем неестественным скачкам долей К-трендов, которая имеет место на рис. 3е.
36 Вариант 3. В данном варианте свободным параметром являлась только скорость изменения начальной амплитуды. Результаты соответствующих расчетов для ВВП США (Пример 3.1) и ВВП Великобритании (Пример 3.2) представлены на рис. 4 и в Табл. 4.
37

38

Как видно из результатов расчета для ВВП США (Пример 3.1), даже при задании года начала Т-волны, длины ее периода и величины ее начальной амплитуды, оценки НМНК в трех случаях из пяти дают скорости изменений значений этих амплитуд Т-волн никак не соответствующие теоретическим представлениям о динамике зарождения, роста и снижения значимости новой волны технологий в экономических процессах (табл. 4, рис. 4а, 4в и 4д).

39

Таблица 4. Вариант 3. Оценки по НМНК скорости изменения начальной амплитуды для ВВП США и Великобритании.

№ волны Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. $) Θ (годы) Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. ₤) Θ (годы)
Пример 3.1. США Пример 3.2. Великобритания
1-я Т-волна 1770 120 0,4 27,1 1745 130 0,24 972,6
2-я Т-волна 1820 120 2,2 32,4 1800 120 0,67 -308,2
3-я Т-волна 1865 120 11,3 -95,5 1845 110 1,34 -0,4
4-я Т-волна 1925 100 81,1 -18,3 1925 100 8,88 -85,3
5-я Т-волна 1965 90 171,1 -121,2 1965 100 13,92 -125,7

Примечание: Жирным шрифтом выделены калиброванные значения параметров из формулы (1). Данные: www.measuringworth.com, расчеты автора.

40

Так, у первых двух Т-волн начальные амплитуды растут во времени, причем очень быстро, с удвоением примерно за 30 лет – то есть в 16 раз за период – что приводит в результате к изменению знаков этих Т-волн с плюса на минус и обратно, так что к концу периода первая Т-волна уходит в большой минус и т.д. (рис 4а и 4в). Более или менее корректные значения – то есть примерно сопоставимые с длиной периода данных Т-волн – этот параметр принимает только у третьей и пятой Т-волн (около 95 и 120 лет) в то время как начальная амплитуда четвертой Т-волны снижается слишком быстро, всего за 18 лет, то есть более чем в 30 раз за период (табл. 3). Определенная этими изменениями начальных амплитуд динамика Т-волн приводит к значительной "путанице" их долей в ДВ-тренде к концу периода (рис. 4д).

41

Что касается соответствующих оценок для модели ВВП Великобритании (Пример 3.2), то здесь имеется очень богатое разнообразие значений параметра Θ (табл. 4, рис. 4б, 4г и 4е). От превращения в константу примерно за пять месяцев третьей Т-волны до трехвекового снижения амплитуды второй Т-волны и почти 1000-летнего срока удвоения начальной амплитуды первой Т-волны (табл. 4). Более или менее корректное время снижения амплитуды имеет место только у четвертой и пятой Т-волн, что во многом и способствует тому, что приоритеты Т-волн в ДВ-тренде, в отличие от соответствующей картины для ВВП США, меняются достаточно последовательно (рис. 4е).

42 Вариант 4. Данный вариант расчета существенно отличается от всех предыдущих вариантов тем, что в этом случае модель ДВ-тренда становится линейной по параметрам и, следовательно, имеет единственное решение. Этот вариант дает вполне адекватные оценки величины начальных амплитуд Т-волн и их общей структуры, как в модели для ВВП США, так и в модели для ВВП Великобритании (табл. 5, рис. 5а – 5е). Наиболее явно это можно видеть из изменений долей К-трендов в ДВ-тренде, строго симметричных для модели ВВП США, и имеющих лишь некоторые отклонения от такой симметрии для ВВП Великобритании (рис. 5д и 5е). Обсуждать сейчас эти результаты более подробно мы не будем, а сделаем это после изложения результатов расчетов соответствующих параметров ДВ-тренда для этих двух стран, полученных по специально разработанной технологии оценки параметров, суть которой изложена в следующем разделе.
43

Таблица 5. Вариант 4. Оценки по НМНК значений начальной амплитуды Т-волн для ВВП США и Великобритании.

№ волны Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. $) Θ (годы) Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. ₤) Θ (годы)
Пример 4.1. США Пример 4.2. Великобритания
1-я Т-волна 1770 120 0,4 -100 1745 130 0,24 -110
2-я Т-волна 1820 120 2,3 -100 1800 120 0,79 -110
3-я Т-волна 1865 120 10,8 -90 1845 110 1,26 -70
4-я Т-волна 1925 100 83,5 -60 1925 100 8,68 -70
5-я Т-волна 1965 90 155,9 -60 1965 100 14,43 -70

Источник: www.measuringworth.com расчеты автора.

44

45

Оценки параметров ДВ-тренда экспертным методом

46 Технология оценки. Как видно из приведенных выше примеров, даже задание трех из четырех параметров, как это было сделано в Варианте 3, оказалось недостаточным для получения корректных с точки зрения теории Т-волн оценок скорости снижения начальных амплитуд. В этой ситуации одним из немногих возможных решений проблемы является экспертный метод оценки параметров (далее – ЭР-метод), методология которого изложена в статье (Андрукович П.Ф., 2020а). В определенном смысле этот метод также представляет из себя калибровку параметров, но производимую, однако, не из тех или иных внешних оценок параметров модели, а непосредственно по данным наблюдений.
47 Его применение позволяет в тех случаях, когда традиционные методы оценки параметров не дают результатов, удовлетворительных по тем или иным содержательным соображениям, "вручную", в полном смысле этого слова, подбирать эти оценки, основываясь не только на статистических критериях качества модели, которые, конечно, тоже должны учитываться при реализации данного метода, но и на соответствии полученных оценок представлениям эксперта, или группы экспертов, о роли и важности тех или иных параметров в данном процессе, основываясь на визуальном анализе соответствия динамики модели динамике моделируемого показателя. В нашем случае – общим положениям теории Т-волн Н.Д. Кондратьева и динамике ВВП США и ВВП Великобритании, соответственно.
48

Работая в рамках этого метода, определение параметров модели ДВ-тренда, следуя теории Т-волн, возникающих во времени последовательно, проводилось в данном случае также последовательно, то есть сначала определялись параметры первой Т-волны, потом второй Т-волны, и так далее, до последней, пятой Т-волны. При этом параметры первой Т-волны определялись таким образом, чтобы ее К-тренд наилучшим образом соответствовал бы динамике ВВП на начальном временном интервале. После того, как рост этой волны – точнее, ее К-тренда – начинал отставать от роста ВВП, в расчеты включалась вторая Т-волна, потом третья Т-волна и т. д., до пятой Т-волны. Такой способ оценки параметров не только естественен для данной модели, но важен и с вычислительной точки зрения. В частности, потому, что, при огромной разнице в значениях ВВП в начале, середине и конце всего этого периода, отклонения от модели в последние годы дают, относительно начальных периодов, существенно больший вклад в оценки отклонений от наблюдаемых значений ВВП. И, следовательно, в наибольшей степени влияют на оценки параметров на всем периоде в целом. Понятно, что, учитывая основную цель рассматриваемого здесь подхода к моделированию динамики ВВП через суперпозицию Т-волн – а именно, наиболее точную оценку динамики каждой из Т-волн в соответствующие моменты времени – такого рода систематические отклонения модели от динамики ВВП недопустимы.

49 В связи с этими соображениями, в данной статье, учитывая специфику исходных данных и вид модели ДВ-тренда, введена следующая оценка качества модели. А именно, для оценки близости модели к значениям ВВП рассматривается аналог коэффициента вариации, в котором величина стандартного отклонения от среднего значения заменена на корень из остаточной дисперсии для этой модели на i-м временном интервале: Wi=Si/Mi. Здесь Si – корень из остаточной дисперсии на i-том интервале и Mi – среднее значение ВВП на этом же интервале. Для более точного оценивания уровня отклонений модели от динамики ВВП, коэффициент Wi рассчитывался на трех временных интервалах: с 1790 по 1870 гг., с 1871 по 1950 гг. и с 1951 по 2018 гг.11, после чего по ним рассчитывался средневзвешенный коэффициент вариации W:
11. В этих интервалах логарифм ВВП США меняется на 1/3 от его общего изменения.
50 W=(i=13Wi*Ni)/N,                                                (4)
51 где Ni есть количество лет в каждом из упомянутых выше трех интервалов и N – длина всего периода. Величину W будем называть коэффициентом относительной близости модели к значениям ВВП, или просто коэффициентом близости (иначе – W-критерий), а величины Wi – частными коэффициентами близости. Достаточно очевидно, что такая оценка близости модели к исходным данным во многом нивелирует различия в величине этих данных на разных временных интервалах, что в данном случае особенно важно для получения корректных оценок параметров первых по времени Т-волн.
52

В качестве примера использования W-критерия при оценке параметров модели ДВ-тренда вместо остаточной дисперсии по всему интервалу наблюдений (далее S-критерий), сравним значения частных коэффициентов близости Wi в четырех вариантах моделей ДВ-тренда для ВВП США, вычисленные по трем указанным выше временным интервалам при двух критериях оптимизации: минимуме S-критерия и минимуме W-критерия (табл. 6). Понятно, что сравнивать между собой эти величины по их абсолютным значениям некорректно, так как значения W-критерия в верхней части таблицы вычислены после получения оценок по S-критерию, а в нижней - по W-критерию. Показательным в данных этой таблицы является монотонное снижение величин Wi от первого к последнему интервалу при использовании S-критерия, что показывает наличие значимого смещения точности оценок параметров в сторону тех из них, которые описывают последние две – три Т-волны в ущерб точности оценок параметров первых Т-волн, и отсутствие этого эффекта при расчетах по W-критерию (табл. 6) 12. Заметим в заключение, что, хотя в табл. 6 приведены данные для тех вариантов расчетов, описание которых дано выше, аналогичная картина наблюдалась и во многих других случаях.

12. Достаточно яркими примерами такого "пренебрежения" к начальному периоду изменений ВВП – да и любого другого растущего во времени показателя – являются графики на рис. 3а и 4а.
53

Таблица 6. Частные коэффициенты близости Wiдля модели ДВ-тренда для ВВП США по интервалам 1790 – 1870, 1871 – 1950 и 1951 – 2018 гг., полученные при оценке параметров ДВ-тренда по НМНК при S-критерии и по коэффициенту близости W.

Периоды Заданные параметры
Начало периода Начало периода и его длина Начало периода, его длина и начальная амплитуда Начало периода, его длина и параметр Θ
Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
По S-критерию
1790 - 1870 0,228 0,758 0,752 0,129
1871 - 1950 0,179 0,186 0,177 0,177
1951 - 2018 0,019 0,034 0,043 0,031
  По коэффициенту близости W
1790 - 1870 0,176 0,150 0,078 0,070
1871 - 1950 0,175 0,184 0,181 0,175
1951 - 2018 0,023 0,067 0,058 0,032

Источник: расчеты автора.

54

Модели ВВП США и Великобритании, полученные по ЭР-методу

55

Перед тем как проанализировать результаты оценивания параметров моделей для ВВП США и Великобритании, полученные по ЭР-методу, рассмотрим те изменения, которые возникают в модели ДВ-тренда относительно классической теории Т-волн и касаются длин их периодов и интервалов между их началами. Как уже говорилось выше, совмещение Т-волн во времени приводит к удлинению их периодов. При этом, существенную роль играют интервалы между их началами. Так, например, когда начало очередной Т-волны задерживается на бóльший временной интервал, чем половина периода предыдущей Т-волны, рост ВВП замедляется, а если этот временной интервал меньше, чем половина периода предыдущей Т-волны, рост ВВП ускоряется13. Понятно, что при моделировании реального ВВП имеет место обратная логическая связь: при замедлении роста ВВП начало новой Т-волны задерживается на тот или иной временной интервал, а при ускорении этого роста новая Т-волна возникает раньше. Следует, однако, отметить, что то негативное влияние, которое оказывает на динамику Т-волны задержка ее начала, может быть в значительной степени компенсирована величиной ее начальной амплитуды14. Важным признаком стабильного развития экономики той или иной страны в данной модели является также симметрия тех интервалов, на которых Т-волны сохраняют свое лидирующее положение. Эта симметрия проявляется в длительности их лидерства и максимальной доле их К-трендов в значениях ДВ-тренда.

13. Этот вывод следует из модельных расчетов, приведенных в (Андрукович П.Ф., 2018).

14. Эту амплитуду можно, вообще говоря, оценивать как изначальный потенциал данной Т-волны, который является основой темпа роста ВВП в предстоящий период времени.
56 Приведем теперь результаты применения ЭР-метода для моделирования динамики ВВП США и Великобритании (рис.6, табл. 7). Из этих данных видно, что форма Т-волн и динамика долей К-трендов в значениях ДВ-тренда оказываются в данном расчете вполне корректными с точки зрения высказанных выше замечаний, в отличие от той динамики, которая была получена в первых трех вариантах калибровки параметров.
57

Таблица 7. Вариант 5. Оценки параметров пяти Т-волн, рассчитанные по ЭР-методу, для ВВП США и ВВП Великобритании.

№ волны Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. $) Θ (годы) Год начала Период (годы) Начальная амплитуда (млрд. ₤) Θ (годы)
Пример 5.1. США (W=0,096) Пример 5.2. Великобритания (W=0,051)
1-я Т-волна 1770 120 0,4 -100 1745 130 0,24 -110
2-я Т-волна 1820 120 2,2 -100 1800 120 0,67 -110
3-я Т-волна 1865 120 11,3 -90 1845 110 1,34 -70
4-я Т-волна 1925 100 83,1 -60 1925 100 8,88 -70
5-я Т-волна 1965 90 156,1 -60 1965 100 13,92 -70

Источник: www.measuringworth.com, расчеты автора.

58

Так, интервалы между началами Т-волн сохраняются в пределах от 40 до 60 лет при одном исключении для начала четвертой Т-волны в Великобритании, которая начала зарождаться в экономике этой страны только через 80 лет после начала третьей Т-волны. Доли К-трендов в ДВ-трендах этих двух стран изменяются достаточно регулярно, что особенно четко проявляется в модели ВВП США (рис. 6д), в то время как в модели для ВВП Великобритании эта регулярность выглядит менее четкой, в частности, из-за слабого влияния третьей Т-волны, отчего вторая Т-волна достаточно долго играла значительную роль в экономике этой страны (рис. 6е).

59

60 Можно предположить, что долгое сохранение значимой доли второй Т-волны и относительно слабое проявление третьей Т-волны в экономике Великобритании, а также большой разрыв между началами третьей и четвертой Т-волн связано с тем, что максимум развития третьей Т-волны – с 1902 по 1950 гг. – пришелся в большей своей части на период Первой и Второй Мировых войн, которые в обоих случаях приводили к снижению ее ВВП и требовали переориентации экономики Великобритании на военные нужды, а потом возвращения к нормальному функционированию15. Эти события, наряду с другими, также достаточно важными, факторами, привели к возникновению существенной разницы в росте значений начальных амплитуд пяти последовательных Т-волн в этих двух странах. В частности, экспоненциальные модели, построенные по их динамике (рис. 7), дают для США удвоение начальной амплитуды за 38 лет, а для Великобритании – за 45 лет.
15. ВВП Великобритании (в постоянных ценах 2016 г.) составил в 1921 г. 76,4% от уровня 1916 г.
61 Если обратить теперь внимание на разницу во времени начала первых трех Т-волн в этих странах, то можно отметить, что приоритет Великобритании по этому показателю относительно аналогичных процессов в США, связан с более ранним формированием в этой стране единой экономической структуры (в терминологии Ф. Броделя – единого национального рынка, (Бродель, Ф., 1992)), сделавшей возможным начало Первой индустриальной революции именно в Великобритании в 1740 - 1750-х гг. Однако, смены главного технологического тренда в экономике США проходили, как уже было сказано выше, более равномерно и "симметрично", чем в экономике Великобритании. При этом более длительное и пологое снижение долей первых трех Т-волн в ВВП Великобритании относительно скорости их снижения в ВВП США привели к тому, что к настоящему времени доли этих первых трех Т-волн занимают в экономике США всего 11,4% ВВП (причем на первые две из них приходится всего 2,8%), в то время как в ВВП Великобритании они составляют 21,8% ВВП (и 10,3% первые две в совокупности).
62 Вернемся в заключение этого раздела к сопоставлению качества моделей динамики ВВП Великобритании и ВВП США при использовании НМНК и ЭР-метода для оценки параметров ДВ-тренда. Понятно, что в первую очередь сопоставление этих оценок имеет смысл проводить по результатам расчетов в Варианте 4, в котором оценивались только значения начальных амплитуд Т-волн. Как видно из данных табл. 5 и 7 и рис. 7 значения этих амплитуд практически полностью совпадают, как в модели для ВВП США, так и в модели для ВВП Великобритании. То есть верификация этих значений, полученных по ЭР-методу, дает те же результаты, что и их определение с использованием НМНК оценок при задании остальных параметров. Понятно, что при таком совпадении значений начальных амплитуд W-критерии также одинаковы: по 0,096 для Варианта 4 и ЭР-метода при моделировании ВВП США и по 0,051 для Великобритании (табл. 7).
63

64 Сравним теперь приведенные выше значения W-критерия из расчетов по ЭР-методу с его значениями, полученными в вариантах с калибровкой той или иной части параметров и оценкой "свободных" параметров по НМНК. Так, для вариантов с нулевого по третий значения W-критерия для США равны 0,107, 0,130, 0,137 и 0,108, а для Великобритании: 0,063, 0,076, 0,069 и 0,069, соответственно. То есть точность модели, в которой все параметры оценивались по ЭР-методу, была лучше, чем точность моделей, в которых значения калиброванных параметров определялись по ЭР-методу, а оценка оставшихся "свободных" параметров производилась по НМНК.
65

Заключение

66 Анализ проблем оценки параметров ДВ-тренда, проведенный в данной статье, показал, что процесс получения их корректных значений возможен только лишь на основе использования "человеческого фактора", а именно, экспертного метода получения оценок этих параметров. Такой подход, расширяя возможности нахождения нестандартных решений при верификации сложных по своей структуре моделей за счет использования опыта и профессиональных знаний специалиста, может дать хорошие результаты и во многих других случаях. Это не исключает, конечно, использование МНК или НМНК, а также других, аналогичных им методов оценки параметров, которые существенно облегчают процесс определения их значений в той или иной модели, особенно в случае большого количества образующих ее параметров, когда экспертный – то есть, по факту, "ручной" – перебор возможных значений параметров становится нереальным ввиду огромного количества их сочетаний16.
16. Процесс определения параметров модели ДВ-тренда по ЭР-методу был возможен только потому, что те 20 параметров, которые определяют эту модель, оценивались, как уже упоминалось выше, поочередно для каждой Т-волны. С периодическими, однако, возвращениями к оценкам параметров предыдущих Т-волн, в связи с тем, что эти волны, по условиям построения модели ДВ-тренда, продолжают, в той или иной мере, действовать на всем последующем периоде времени. При этом для получения корректной верификации модели требовалось два-три дня, а иногда и больше, достаточно напряженной работы.
67 Однако и в более простых случаях легкость получения оценок в вычислительном плане не должна становиться приоритетной при определении значений параметров, так как, вообще говоря, минимум S-критерия (или аналогичных ему критериев), как уже было сказано в эпиграфе к данной статье, далеко не всегда совпадает с максимумом здравого смысла. При этом и в линейных случаях, когда решение по этим критериям определяется единственным образом, небольшое расхождение с минимумом какого-либо формального критерия, полученное вследствие экспертной оценки параметров модели, отличающихся в той или иной степени от найденных их значений по формальному критерию, может дать значительный выигрыш в уровне корректности решения в целом. Следует также отметить, что такие экспертные оценки параметров могут существенно улучшить прогностическую силу моделей, так как, хотя S-критерий и дает наилучшую интерполяционную формулу для данной модели, ее прогнозные значения при этом могут быть далеки от реального будущего.
68

Возможно, в частности, что именно эта ограниченность расчетов, в которых оценки параметров определяются только по формальными критериям, и не позволяет во многих случаях получать модели, соответствующие вполне адекватным экономическим теориям. Так, А.А. Петров и И.Г. Поспелов (Петров А. А., Поспелов И. Г., 2009), на основании большого цикла проделанных ими расчетов по моделированию экономики России в период ее перестройки в 1990 – начале 2000-х гг., делают вывод о том, что: "… в экономической теории понятия размыты, а отношения между ними не однозначны. Таков вывод из наших неудачных попыток построить систему поддержки моделирования, основанную на соответствии экономических понятий и отношений переменным и соотношениям математической модели" (стр. 504). То есть во многих случаях проблема заключается, возможно, не в слишком большом отрыве конкретных теоретических моделей, может быть и немного "размытых", от реальных экономических процессов, а в завышенном уровне доверия исследователей к формальным статистическим методам.

69

С содержательной же точки зрения, которая в этой статье вполне целенаправленно уступает первенство чисто техническим – а, точнее, вычислительным – проблемам, следует отметить, что сравнение моделей ВВП для США и Великобритании показало, что, во-первых, суперпозиция Т-волн вполне адекватно описывает динамику ВВП этих стран, и, во-вторых, что она может быть различной даже в странах, достаточно близко находящихся друг к другу по уровню своего экономического развития. Вполне вероятно, а может быть даже и очевидно, что различия в динамике Т-волн в странах разного уровня и типа развития будут еще более заметными. Так, как пишет К.Перес: "Требуются два или три десятилетия бурной адаптации и ассимиляции, прежде чем новые технологии, продукты, отрасли и инфраструктуры начнут способствовать наступлению «золотого века» …, или «эры процветания»" (Перес, К. 2011, стр. 17). Понятно, что, как в странах разного уровня развития, так и в случае серьезных политических и экономических потрясений, начало очередной технологической волны может задерживаться (как это было в США в XVIII – XIX вв.), а ее распространение в экономике может испытывать значительные трудности (как это было в Великобритании в первой половине XX века). Замечу в заключение, что изучение этих процессов в различных странах мирового сообщества может стать достаточно интересным исследовательским проектом.

References

1. Акаев А.А., Хироока М. (2009). Об одной математической модели для долгосрочного прогнозирования динамики инновационно-экономического развития // Доклады Академии наук. Т. 425, № 6. с. 727–732.

2. Акаев А.А., Турдуев М. (2010). Об одном подходе к математическому описанию долговременной динамики экономического развития, основанном на учении о больших циклах Н.Д. Кондратьева. В сб.: Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики // Ред. А.А. Акаев, А.В. Коротаев, Г.Г. Малинецкий. М.: Издательство ЛКИ, гл. 2.

3. Акаев А.А. (2012). Математические основы инновационно-циклической теории экономического развития Шумпетера–Кондратьева. В сб.: Кондратьевские волны: аспекты и перспективы // Ред. А.А. Акаев, Р.С. Гринберг и др. Волгоград: Учитель. с. 314–341.

4. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. (1972). Теория сплайнов и её приложения. М: Мир, 319 стр.

5. Андрукович. П.Ф. (2018). Модель тренда в рамках теории длинных волн // в сб.: Теория и практика институциональных преобразований в России. № 44. стр. 26 - 34.

6. Андрукович П.Ф. (2020а). Заметки о принципах построения моделей прогноза экономических показателей (на примере прогнозной системы "ProRosEc") // Экономика и математические методы. №2 (56). стр. 66-76.

7. Андрукович П.Ф. (2020б). Динамика ВВП как суперпозиция технологических волн Н.Д. Кондратьева // Экономическая наука современной России. №2 (89). стр. 7 – 21.

8. Бродель Ф. (1992). Время мира // Материальная цивилизация, экономика и капитализм, XV – XVIII вв., том 3, М.: Прогресс, 679 стр.

9. Глазьев С.Ю. (1993). Теория долгосрочного технико-экономического развития. М.: ВлаДар.

10. Гринин Л. Е. (2012) Кондратьевские волны, технологические уклады и теория производственных революций // Кондратьевские волны. Аспекты и перспективы. / Отв. ред. А. А. Акаев, Р. С. Гринберг и др. Волгоград: Учитель, с. 222–262.

11. Дементьев В.Е. (2012). Длинные волны в экономике: инвестиционный аспект // Препринт # WP/2012/297, М.: ЦЭМИ РАН.

12. Дементьев В. Е. (2016). Изменчивость длинных волн экономического развития. // Проблемы теории и практики управления. № 6. С. 41-46.

13. Дубовский С. В. (2012). Моделирование циклов Кондратьева и прогнозирование кризисов // Кондратьевские волны: аспекты и перспективы. С. 179–188.

14. Кондратьев Н.Д. (1925). Большие циклы конъюнктуры. Вопросы конъюнктуры т.1 №1, стр. 28–79.

15. Кондратьев Н.Д. (2002). Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. М.: Экономика.

16. Коротаев А.В., Цирель С.В. (2010). Кондратьевские волны в мир-системной экономической динамике. // Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики, под ред. АА. Акаева, А.В. Коротаева, Г.Г. Малинецкого. – М.: Издательство ЛКИ, глава 10.

17. Маевский В. И. (1994). Экономическая эволюция и экономическая генетика // Вопросы экономики. № 5. С. 4–21.

18. Малков С.Ю., Кирдина С.Г. (2010). Иерархия моделей мировой динамики и глобальные социально-экономические процессы. Прогноз и моделирование кризисов и мировой динамики, под ред. АА. Акаева, А.В. Коротаева, Г.Г. Малинецкого. – М.: Издательство ЛКИ, с. 249–261.

19. Меньшиков С. М., Клименко Л. А. (1989). Длинные волны в экономике: когда общество меняет кожу. М.: Международные отношения.

20. Перес К. (2011). Технологические революции и финансовой капитал. Динамика пузырей и периодов процветания. М.: Дело, 231 стр.

21. Петров А.А., Поспелов И.Г. (2009). Математические модели экономики России // Вестник РАН. т.79, №6. С. 492-506.

22. Садовничий В.А., Акаев А.А., Коротаев А.В. Малков С.Ю. (2012). Моделирование и прогнозирование мировой динамики // Москва: ИСПИ РАН, Научный совет по программе фундаментальных исследований Президиума РАН «Экономика и социология знания».

23. Яковец Ю. В. (1993). Научное наследие Н. Д. Кондратьева: современные оценки // Н. Д. Кондратьев. Избранные сочинения. М.: Экономика. С. 8–13.

Comments

No posts found

Write a review
Translate