Model of cargo transportation organization taking into account random influences
Table of contents
Share
QR
Metrics
Model of cargo transportation organization taking into account random influences
Annotation
PII
S265838870012637-3-1
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Nerses Khachatryan 
Occupation: Associate Professor
Affiliation: State Academic University for the Humanities
Address: Moscow, Russian Federation, Maronovskiy pereulok, 26
Abstract

This article examines the model of organization of railway cargo transportation along a circular chain of stations. According to a given rule, the movement of goods from one station to another occurs with a certain intensity, which involves both deterministic and random components. Such a model is described by a system of differential equations, in the right parts of which there are random variables. The numerical realization of this system is carried out.   With the help of numerous experiments, the dynamics of the station load and the flow arising in the cargo transportation system, as well as their dependence on the random component involved in the formation of the flow intensity, have been investigated.

Keywords
model, organization of cargo transportation, flow intensity, random component, numerical realization, experiments
Received
22.12.2020
Date of publication
22.12.2020
Number of purchasers
14
Views
1386
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf
Additional services access
Additional services for the article
Additional services for all issues for 2020
1

Введение

2 Транспорт играет важную роль в экономике страны. Он обеспечивает развитие, связь и координацию работы всех отраслей экономики, а также связь между регионами страны. Развитие транспортной системы является важнейшим условием модернизации экономики. Оно невозможно без оптимального планирования сетей, улучшения организации движения и ряда других задач, решение которых требует математического моделирования транспортных потоков. Здесь можно выделить два крупных направления: моделирование загрузки транспортных сетей городов и моделирование динамики транспортного потока [1]. Первое направление представлено моделями расчета корреспонденций [2-3], моделями семейства конкурирующих центров [4], а также моделями распределения потоков по сети [5-7]. Второе направление представлено основными классами динамических моделей как макроскопическими (газодинамическими) [8-10], так и микроскопическими [11-13]. Отметим, что в микроскопических моделях явно моделируется движение каждого автомобиля. Такой подход позволяет теоретически достичь более точного описания движения транспортных средств по сравнению с усредненным макроописанием, однако этот подход требует больших вычислительных ресурсов при практических применениях.
3 В данной статье представлена макроскопическая динамическая модель, описывающая движение железнодорожного транспорта по сети, представляющей собой круговую цепочку станций. Основные отличия от аналогичных моделей, представленных в работах [14-17] следующие: отказ от предположения о наличии между станциями специальных путей для временного хранения части грузов в случае высокой загруженности станций, а также введение случайной составляющей в описание грузопотока. Движение грузов осуществляется с интенсивностью, величина которой зависит от пропускной способности станций и содержит в себе как детерминированную, так и случайную составляющие. Одним из параметров модели является доля случайной составляющей в описании интенсивности потока. Такая модель позволяет прогнозировать загруженность станций и динамику потока, возникающего в железнодорожной сети с учетом случайных воздействий на систему грузоперевозок.
4 Постановка задачи
5 Рассмотрим движение грузопотока по круговой цепочке, состоящей из n станций. Предполагаем, что число путей на всех станциях одинаково и равно Δ . Каждая станция в произвольный момент времени характеризуется количеством задействованных путей. Пусть zi(t) , i=1, 2, , n – число путей, задействованных на i -й станции в момент времени t . Очевидно, что функции zi(t) должны удовлетворять следующим ограничениям:
6 0zit,             i=1, 2, , n.                         (1)
7 Станции обладают определенной пропускной способностью. В данной модели она выражается максимальным количеством перевозимого груза за единицу времени в зависимости от загруженности станций и описывается с помощью непрерывной убывающей функции φ(.) , определенной на отрезке [0, ] , причем φ=0 . Предполагаем, что грузопоток состоит из двух компонент: детерминированной и случайной. Введем в рассмотрение параметр λ (0λ1) , с помощью которого мы будем определять долю детерминированной составляющей в величине потока.
8 Приведем правила, согласно котором происходит движение грузов. Произвольная станция с номером i=2, , n-1 принимает груз c (i-1) -й станции с интенсивностью λφzi+1-λεiφzi если (i-1) -я станция не пуста и отправляет на (i+1) -ю станцию с интенсивностью λφzi+1+1-λεi+1φzi+1  если станция с номером i  не пуста. Отметим, что εi – случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, 1] . Для станции с номером 1 предыдущей является станция с номером n , а для станции с номером n следующей является станция с номером 1 . Следовательно, станция с номером 1 принимает груз c n -й станции с интенсивностью  λφz1+1-λε1φz1 , если n -я станция не пуста, и отправляет на 2 -ю станцию с интенсивностью  λφz2+1-λε2φz2 , если станция с номером 1 не пуста. Аналогично, станция с номером n принимает груз c (n-1) -й станции с интенсивностью  λφzn+1-λεnφzn , если (n-1) -я станция не пуста, и отправляет на 1 -ю станцию с интенсивностью φ(z1) , если станция с номером n не пуста.
9 Таким образом, интенсивность движения грузов на станциях задается с помощью следующей системы дифференциальных уравнений:
10 z1˙t=λ+1-λε1φz1signzn-λ+1-λε2φz2signz1,        t0, +;                                                   (2)
11 zi˙t=λ+1-λεiφzisignzi-1-λ+1-λεi+1φzi+1signzi,   i=2, , n-1,       t0, +;          (3)
12 zn˙t=λ+1-λεnφznsignzn-1-λ+1-λε1φz1signzn,        t0, +.                                              (4)
13 Функция sign(.) определяется следующим образом:
14

15 Отметим, что конструкция правых частей системы (2)-(4) гарантирует, что всякое ее решение, удовлетворяющее условию (1) в начальный момент времени, будет удовлетворять ему и в последующие моменты времени. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что начальное условие для системы дифференциальных уравнений (2)-(4) удовлетворяет ограничению (1).
16 Несложно заметить, что при λ=1 , т.е. в случае отсутствия случайной компоненты в формировании интенсивности потока система уравнений (2)-(4) имеет бесконечное множество стационарных решений вида:
17 zi=c,      0c,       i=1, , n.                                (5)
18 Исследование других решений проведено с помощью численной реализации исследуемой системы дифференциальных уравнений. Основной задачей данного исследования является выявление динамики потока в зависимости от параметра λ и начальной загруженности станций.
19

Результаты численных экспериментов

20 Перейдем к изложению результатов численных экспериментов, в которых функция φ(.) была определена следующим образом
21 φzi=a-zi,    i=1, 2, , n.
22 Напомним, что функция φ.  должна быть убывающей и удовлетворять условию φ=0 . Параметр a , участвующий в определении этих функций описывает эффективность использования путей на станциях.
23 Начнем исследование системы (2)-(4) со случая λ=1 . Как показывают численные эксперименты произвольное ее решение со временем выходит на стационарный режим, т.е. существует   t->0 такое, что всякое решение {zi(.)}1n системы (2)-(4) удовлетворяет условию zi= c- , t[t-, +) (Рис.1). Более того значение c- зависит только от начальных значений компонент решений и представляет собой их усреднение:
24 c-=1ni=1nzi(0).
25

Рис. 1. График решения системы (2)-(4) при λ=1

26 При этом в системе грузоперевозок устанавливается стационарный поток, величина которого равна φc-=a(-c-) (Рис.2).
27

Рис. 2. Динамика интенсивности потока при λ=1

28 Перейдем к исследованию решений системы (2)-(4) в случае λ1 , т.е. в предположении, что интенсивность потока содержит в себе случайную составляющую. В этом случае компоненты произвольного решения системы (2)-(4) с фиксированными начальными условиями, т.е. функции zi(.) , i=1, 2, , n можно рассматривать как реализации однопараметрических случайных величины (параметр t ), а в произвольной фиксированной точке t – как реализацию некоторой случайной величины. Для оценивания ее математического ожидания и стандартного отклонения, а также ее зависимости от параметра λ проведена серия из 10 экспериментов для каждого из следующих значений параметра λ:0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 , т.е. для каждого из указанных значений λ получено 10 решений системы (2)-(4) с одинаковыми начальными условиями. На основе этих экспериментов рассчитано выборочное среднее и выборочное стандартное отклонение компонент решений (функций zi(.) ) для каждого момента времени на заданном отрезке [0, t~] с определенным шагом (количество точек более 1000). Множество таких выборочных средних и выборочных стандартных отклонений представляют собой временные ряды. На рис.3, 4 и 5 приведены графики указанных временных рядов, полученных на основе первой компоненты решения (функции z1(.) ) при λ=0.8 и λ=0.2 .
29

Рис.3. Динамика выборочного среднего первой компоненты решения системы (2)-(4) при λ=0.8

30

Рис. 4. Динамика выборочного среднего первой компоненты решения системы (2)-(4) при λ=0.2

31

Рис. 5. Динамика выборочных стандартных отклонений первой компоненты решения системы (2)-(4) при λ=0.8 и λ=0.2 .

32 Несложно заметить, что временные ряды представленные на рис.3 и рис.4 колеблются в окрестности c- (c-=3.5) . Данные ряды, а также ряды, представленные на рис.5, с помощью критерия Дики-Фуллера были проверены на стационарность. Во всех случаях гипотезы о нестационарности ряда отвергаются на 1% -ом уровне значимости. Отметим, что аналогичные результаты получаются и для других компонент решений.
33 Перейдем к описанию потока, возникающего в железнодорожной сети. На рис. 6 и 7 приведены временные ряды, отражающие динамику выборочных средних интенсивности потока между станциями с номерами 1 и 2, а также динамику соответствующих выборочных стандартных отклонений при значениях параметра λ равных 0.8 и 0.2, соответственно. Отметим, что данные временные ряды также являются стационарными.
34

Рис. 6. Динамика выборочных средних интенсивности потока между станциями с номерами 1 и 2 при λ=0.8 и λ=0.2

35

Рис. 7. Динамика выборочных стандартных отклонений интенсивности потока между станциями с номерами 1 и 2 при λ=0.8 и λ=0.2

36 Как и следовало ожидать с уменьшением λ (увеличение доли случайной компоненты в потоке) интенсивность потока уменьшается при одновременном увеличении ее стандартного отклонения. Многочисленные эксперименты показывают, что аналогичная динамика наблюдается и на других участках железнодорожной сети (между другими соседними станциями).
37 В завершение данного параграфа приведем зависимость выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения временных рядов, описывающих усреднение по результатам 10 экспериментов решений системы (2)-(4) и интенсивности потоков, возникающих в железнодорожной сети, а также их стандартные отклонения от параметра λ (рис. 8, рис.9). Отметим, что данные характеристики рассчитываются с учетом того, что указанные временные ряды являются стационарными.
38

Рис. 8. Зависимость решения системы (2)-(4) и интенсивности потока от λ

39

Рис. 9. Зависимость стандартного отклонения решения системы (2)-(4) и интенсивности потока от λ

40 Как следует из рис. 8 выборочное среднее ряда, являющегося усреднением решения системы (2)-(4) не зависит от λ и равно среднему арифметическому начальных условий. Величина потока линейно увеличивается по мере увеличения параметра λ . Из рис. 9 следует, что как выборочное стандартное отклонение усредненного решения так и выборочное стандартное отклонение усредненного потока линейно убывают по параметру λ , причем скорость убывания последнего существенно выше.
41

Заключение

42 В данной статье изучена модель организации железнодорожных грузоперевозок по круговой цепочке станций. Предполагается, что грузопоток имеет как детерминированную, так и случайную составляющие. Такая модель задается с помощью системы дифференциальных уравнений, описывающих интенсивность грузопотока на станциях и содержащих в правых частях случайные величины, влияние которых управляется с помощью введенного параметра. Проведена численная реализация указанной системы. По результатам многочисленных экспериментов выявлена динамика как загруженности станций, так и потока, возникающего в системе грузоперевозок. Получена их зависимость от параметра, характеризующего долю случайной составляющей в формировании грузопотока.

References

1. Швецов В.И. Математическое моделирование транспортных потоков // Автоматика и телемеханика. 2003. № 11. С. 3–46.

2. Wilson A. G. A family of spatial interaction models and associated developments // Environment and Planning. A. 1971. Vol. 3. P. 255–282.

3. Popkov Yu. S. Macrosystems theory and its applications. Berlin: Springer Verlag. 1995.

4. Fotheringham A. S. Modelling hierarchical destination choice // Environment and Planning. A. 1986. Vol. 18. P. 401–418.

5. Shvetsov V.I. Algorithms for distributing traffic flows// Automation and Remote Control. 2009. Vol. 70. No 10, P. 1728–1736.

6. Lo H.K., Chen A. Traffic equlibrium problem with route-specific costs: formulation and algorithms// Transportation Research. B. 2000. Vol. 34. No 6. P. 493–513.

7. Bar-Gera H. Origin-based algorithm for the traffic assignment problem// Transportation Science. 2002. Vol. 36. No. 4. P. 398–417.

8. Daganzo C. F. The cell transmission model: A dynamic representation of highway traffic consistent with the hydrodynamic theory // Transportation Research. B. 1994. Vol. 28. P. 269–287.

9. Daganzo C. F. The cell transmission model, Part II: Network traffic // Transportation Research. B. 1995. Vol. 29. P. 79–93.

10. Гасников А.В., Кленов С.Л., Нурминский Е.А., Холодов Я.А., Шамрай Н.Б. Введение в математическое моделирование транспортных потоков. Под ред. Гасникова А.В. М.: МЦНМО. 2013.

11. Brackstone M., McDonald M. Car following: A historical review // Transportation Research. F. 2000. Vol. 2. P. 181–196.

12. Bando M., Hasebe K., Nakayama A., Shibata A., Sugiyama Y. Dynamical model of traffic congestion and numerical simulation // Physical Review. E. 1995. Vol. 51. P. 1035–1042.

13. Treiber M., Hennecke A., Helbing D. Congested traffic states in empirical observations and microscopic simulations // Physical Review. E. 2000. Vol. 62. P. 1805–1824.

14. Бекларян Л.А., Н.К. Хачатрян. Об одном классе динамических моделей грузоперевозок // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. Т. 53. № 10. C. 1649–1667.

15. Бекларян Л.А., Хачатрян Н.К. Динамические модели организации грузопотока на железнодорожном транспорте// Экономика и математические методы. 2019. Т. 55. № 3. С. 62-73.

16. Khachatryan N.K., Akopov A.S., Belousov F.A. About Quasi-Solutions of Traveling Wave Type in Models for Organizing Cargo Transportation // Business Informatics. 2018. No. 1 (43). P. 61–70.

17. Beklaryan Levon A., Khachatryan Nerses K., Akopov Andranik S. Model for organization cargo transportation at resource restrictions// International Journal of Applied Mathematics. 2019. Vol. 32. No. 4. P. 627-640.

Comments

No posts found

Write a review
Translate