About methods for comparing interval alternatives of various kinds (part 2)
Table of contents
Share
Metrics
About methods for comparing interval alternatives of various kinds (part 2)
Annotation
PII
S265838870007307-0-1
DOI
10.33276/S265838870007307-0
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Vladimir Zhiyanov 
Occupation: Senior reseacher
Affiliation: CEMI RAS
Address: Moscow, Nakhimovky prospect 47
Gennady Shepelev
Occupation: Leading researcher
Affiliation: Institute for systems analysis of Federal research center “Computer science and control” RAS
Address: Russian Federation, Moscow, pr. 60-letiya Oktyabrya, 9
Edition
Abstract

The interrelationships of the approach of fuzzy theory and the approach of generalized interval estimations are established in the framework of problems of comparing poly-interval alternatives. It is shown that some generalized distributions of chances, which are probability mixtures on basic intervals of generalized interval estimations, can be obtained from distributions on mono-intervals of fuzzy objects using the defuzzification procedures. The method of “mean - risk” and the method of collective risk estimating, used earlier for comparing poly-interval alternatives of the same kinds, are proposed to be used for comparing heterogeneous poly-alternatives. The peculiarities of the comparison of poly-interval alternatives and point (deterministic) alternatives are studied, in particular, within the framework of the comprehensive method for comparing interval alternatives under risk.

 

Keywords
comparing of poly-interval alternatives, connections of fuzzy and generalized interval objects
Received
24.10.2019
Date of publication
06.11.2019
Number of characters
9973
Number of purchasers
11
Views
153
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf

To download PDF you should sign in

1 Введение
2 Напомним, что интервальными альтернативами называют такие объекты сравнения по эффективности, показатели качества которых имеют, из-за неопределенности, интервальное представление. В первой части настоящей статьи универсальные методы сравнения интервальных альтернатив - метод среднее – риск» [1] и метод оценки коллективного риска [2], ранее использовавшиеся для сравнения моно альтернатив [3], были распространены на задачи сравнения однотипных поли-интервальных альтернатив. К поли-интервальным объектам были отнесены нечеткие и обобщенно-интервальные альтернативы [4].
3 Однако, возможны ситуации принятия решений, в которых необходимо сравнить по эффективности разнородные интервальные альтернативы – моно и поли-интервальные, нечеткие и обобщенно-интервальные, наконец, интервальные и точечные (детерминированные) альтернативы как вырожденный случай интервальных. Такие задачи важны с практической точки зрения и требуют применения комплексного метода сравнения.
4 Если сравнение методом «среднее – риск» и в этом случае не представляет трудности, коль скоро имеется возможность получения значений критериев сравнения для этого метода, то сравнение разнородных альтернатив методом оценки коллективного риска требует дополнительного изучения. В дополнительном исследовании нуждаются также задачи сравнения поли-интервальных альтернатив и точечных (детерминированных) альтернатив, в частности, в рамках комплексного метода сравнения [4].
5 Для реализации этой программы, как будет показано, необходимо установить связи между формализмом описания нечетких и обобщенно-интервальных альтернатив в задачах сравнения. Полученные соотношения имеют также самостоятельный интерес. Ранее связь нечеткого и теоретико-вероятностного подходов изучалась в общем контексте в работе [5].
6 О связи теории нечеткости и подхода обобщенных интервальных оценок при сравнении интервальных альтернатив
7

Остановимся теперь на некоторых аспектах связи теории нечеткости и подхода обобщенных интервальных оценок при сравнении интервальных альтернатив. Отличия подходов состоят в том, что в случае нечеткости сравнения моно-интервалов производятся для одинаковых a-уровней [6], а в случае обобщенных интервальных оценок, из-за смешивания распределений-компонентов на базовом интервале, для произвольных допустимых («смешанных») значений a. Наглядно это можно понять на примере расчета величины предпочтительности (риска) методом статистических испытаний. При сравнении в паре нечетких объектов в каждом испытании достаточно однократного разыгрывания a, специфицирующего сравниваемые моно-интервалы обоих объектов. В аналогичной процедуре для обобщенных интервальных альтернатив следует независимо разыграть значения a для каждого сравниваемого объекта. Понятно, что возможный спектр сравниваемых моно-интервалов будет в последнем случае гораздо богаче.

8 Это приводит к меньшим значениям индикатора риска для нечетких объектов в сравнении с обобщенными интервальными альтернативами. Так для рассматриваемой нами конфигурации при L1 = 1.1; T1 = 3; R1 = 5; L2 = 1; T2 = 2; R2 = 4 RsA = 0.15, а RsGE = 0.275. Здесь RsA и RsGE индикаторы риска нечеткого объекта и обобщенно-интервального объекта соответственно. Таким образом использование подхода обобщенных интервальных оценок приводит к более осторожным оценкам для предпочтительностей.
9 Отметим еще один существенный факт. Ранее в [7] для треугольных поли-интервальных оценок были получены выражения для плотности обобщенного равномерного распределения шансов fl(x) и fr(x) в подходе обобщенных интервальных объектов:
10

fl(x) = ln[(TL)/(Tx)]/, L < x < T,

fr(x) = ln[(RT)/(xT)]/, T < x < R.

11

Покажем теперь, что эти выражения получаются при дефаззификации распределений на a–уровнях нечетких объектов с функциями принадлежности треугольной формы.

12

Действительно, плотность fU(a) распределений на a–уровнях нечеткого объекта равна fU(a) = 1/[(1 –a)D]. При дефаззификации способом осреднения для усредненных таким образом плотностей распределения шансов f1A(x) и f2A(x) (при L < x < T и T < x < R соответственно) имеем.

13 f1A(x)=0(x-L)/(T-L)dα/[(1-α)Δ],f2A(x)=0(R-x)/(R-T)dα/[(1-α)Δ].
14

Интегрируя, можно видеть теперь, что f1A(x) = fl(x), f2A(x) = fr(x). Используя различные способы дефаззификации, из распределений шансов в нечетких объектах можно получать различные обобщенные распределения. Так, интегрируя вышеприведенные соотношения для f1(2)(x) с весом 2a, получим плотности распределения шансов f1G(2G)(x), отвечающие дефаззификации методом центра тяжести.

15 f1G(x)=2Δ(lnT-LT-x-x-LT-L),f2G(x)=2Δ(lnR-Tx-T-R-xR-T).
16 Надо иметь в виду, что при сопоставлении результатов сравнения нечетких и обобщенных поли-интервальных альтернатив следует учитывать не только факт принадлежности объектов к одной конфигурации, но и использованный способ дефаззификации. Отметим еще раз, что на связь нечетких и теоретико-вероятностных представлений указано в работе [5].
17 Попарное сравнение альтернатив различающихся видов
18 В первой части настоящей статьи были рассматрены задачи попарного сравнения альтернатив одинакового типа. Однако на практике может возникать необходимость сравнивать разнотипные альтернативы.
19 В рамках метода «среднее – риск», коль скоро мы умеем вычислять для сравниваемых объектов индикаторы предпочтительности и риска, требуемые методом, как кажется, не должны возникать трудности. Они возникают все же при сравнении интервальной и детерминированной (точечной) альтернативы. В самом деле, показатель риска для точечной альтернативы равен нулю. Поэтому результат сравнения определяется в этом случае в методе «среднее – риск» соотношением между величиной среднего для интервальной альтернативы и величиной показателя предпочтительности точечного объекта. Можно ли считать задачу сравнения решенной, если последняя больше первой? Думается, что нет. Дело в том, что тогда отсутствует оценка риска такого выбора, а риск, как следует из содержательных соображений, всегда имеет место, если наличествует хотя бы одна интервальная альтернатива в их сравниваемой паре. Оценка риска требуется и в случае, если величина показателя предпочтительности точечного объекта меньше величины среднего для интервальной альтернативы.
20 Рассчитать величину индикатора риска можно в этом случае методом оценки коллективного риска при попарном сравнении. Однако вначале рассмотрим возможность попарного сравнения нечеткой и обобщенно-интервальной альтернатив методом оценки коллективного риска. Для этого необходимо трансформировать разнородные объекты в объекты одинакового типа.
21 Однозначно преобразовать обобщенно-интервальный объект в нечеткий невозможно, но обратное преобразование, как мы видели в предыдущем разделе, осуществимо методом дефаззификации. После того, как это сделано, можно сравнивать альтернативы как две обобщенно-интервальные, используя соотношения, полученные в первой части настоящей статьи.
22 Вернемся к задаче оценки риска при попарном сравнении точечной и интервальной альтернатив. Индикатором риска в методе оценки коллективного риска служит аналог функции распределения вероятностей (шансов) C(X < x), заданной на базовом интервале обобщенной оценки, где x величина индикатора предпочтительности точечной альтернативы.
23 При дефаззификации нечетких объектов ограничимся в настоящей работе случаем метода осреднения, а для подхода обобщенных оценок получением маргинальной функции распределения на базовом интервале. Для треугольных функций принадлежности и поли-интервальных оценок той же формы имеем соотношения для C(X < x): при x < T ClA(X < x), при x > T CrA(X < x). Здесь
24 ClA(X<x)=x-LΔ+(T-x)lnT-xT-LΔ,CrA(X<x)=x-LΔ+(x-T)lnR-Tx-TΔ.
25 При разрешении ситуации с оценкой риска, возникающей при сравнении методом «среднее – риск» в случае, когда величина индикатора предпочтительности x точечной альтернативы больше среднего EA для поли-интервального объекта, следует принять во внимание возможность возникновения трех конфигураций: EA < x < T; EA < T < x; T < EA < x. Именно, для первой конфигурации при подсчете индикатора риска надо использовать в качестве индикатора риска функцию ClA(X < x) и функцию CrA(X < x) для двух прочих конфигураций. При EA > x мы также имеем три возможных конфигурации: x < EA < T; x < T < EA; T < x < EA. При подсчете индикатора риска здесь надо использовать в качестве индикатора риска функцию CrA(X < x) для второй конфигурации и функцию ClA(X < x) для двух прочих конфигураций.
26 Заключение
27 В работе установлены взаимосвязи подходов теории нечеткости и обобщенных интервальных оценок применительно к задачам сравнения поли-интервальных альтернатив. Показано, что обобщенные распределения шансов, представляющие собой вероятностные смеси на базовых интервалах обобщенных интервальных оценок, могут быть получены из распределений на моно-интервалах нечетких объектов методом дефаззификации. Метод «среднее – риск» и метод оценки коллективного риска, используемые ранее при сравнении поли-интервальных альтернатив одинакового типа, предложено применять при сравнении разнородных поли-альтернатив. Изучены особенности сравнения поли-интервальных альтернатив и точечных (детерминированных) альтернатив, в частности, в рамках комплексного метода сравнения.

References

1. Fishburn P.C. Mean-risk analysis with risk associated with below-target returns // American Economic Review. 1977. V. 67. P. 116–126.

2. Shepelev G. Risk behaviour in a set of interval alternatives //International Journal ”Information models and analyses”. 2015. V. 4. P. 303–323.

3. Zhiyanov V.I., Shepelev G.I. Kompleksnyj metod sravneniya interval'nykh al'ternativ v usloviyakh riska // Vestnik TsEhMI RAN. 2018. Vyp. 3 [Electronic resource]. (Circulation date:15.01.2019). DOI: 10.33276/S0000061-0-1.

4. Sternin M., Shepelev G. Obobschennye interval'nye ehkspertnye otsenki v prinyatii reshenij // Doklady akademii nauk. 2010. T. 432. № 1. S. 33–34.

5. Orlov A.I. Nechislovaya statistika. M.: MZ-Press. 2004. 513 s.

6. Diligenskij N.V., Dymova L.G., Sevast'yanov P.V. Nechetkoe modelirovanie i mnogokriterial'naya optimizatsiya proizvodstvennykh sistem v usloviyakh neopredelennosti: tekhnologiya, ehkonomika, ehkologiya. M.: Izdatel'stvo Mashinostroenie ? 1. 2004. 397 c.

7. Sternin M.Yu., Shepelyov G.I., Shepelyov N.G. Svojstva obobschennogo ravnomernogo raspredeleniya veroyatnostej. // Vtoraya mezhdunarodnaya konferentsiya «Sistemnyj analiz i informatsionnye tekhnologii» (SAIT-2007). Trudy konferentsi i v 2 tomakh. M.: LKI. 2007. T.1. S. 239-242.