Динамические системы в теории принятия решений с бесконечным множеством участников
Динамические системы в теории принятия решений с бесконечным множеством участников
Аннотация
Код статьи
S265838870000170-0-1
DOI
10.33276/S0000170-0-1
Тип публикации
Статья
Статус публикации
Опубликовано
Авторы
Ефимов Борис Александрович 
Должность: Ведущий научный сотрудник
Аффилиация: Центральный экономико-математический институт РАН
Адрес: Москва, Нахимовский проспект 47
Выпуск
Аннотация
В статье рассматриваются динамические системы в теории принятия решений для любого множества участников. Показано, что существенную роль при этом играет Аксиома Мартина из теории множеств, которая совместима с аксиомой выбора. Показано, что ключевое значение имеет теория линейных продолжений и усреднений Милютина для построения правил топологического среднего Чичильницкой для любого множества участников.
Ключевые слова
Аксиома Мартина, Линейные операторы продолжения и усреднения, Топологический социальный выбор, бесконечные потенциалы, Марковские цепи, Наблюдаемые и не наблюдаемые состояния на границе Феллера стационарной марковской цепи
Источник финансирования
Номер государственной регистрации ААА-А18-118021990120-2. Научный руководитель темы академик Макаров В. Л.
Классификатор
Получено
31.01.2019
Дата публикации
03.02.2019
Кол-во символов
13923
Всего подписок
4
Всего просмотров
349
Оценка читателей
0.0 (0 голосов)
Цитировать Скачать pdf

Для скачивания PDF необходимо авторизоваться

1 В работе (1), написанной совместно с Ю.Н. Гаврильцом, в качестве функций полезности участников мы взяли квадратичные функции, имеющие кусочно- линейный градиент. Именно, для таких функций показано, что равновесие (гомеостаз) существует и совпадает с альтруистическим равновесием Бержа. См. В. Васильев (11), а также (9) Гусейнов А.А, Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Математические основы золотого правила нравственности. ( Теория нового, альтруистического уравновешивания конфликтов в противоположность «эгоистичному» равновесию по Нэшу).
2 Работа (2), также написанная совместно с Ю.Н. Гаврильцом, отличается тем, что все участники имеют в качестве области определения n-мерный куб, то есть их функции полезности зависят от всех участников (взаимозависимость), а выпуклостью обладают не всегда. Рекомендуется вместе с этой работой посмотреть статьи (4) и (5).
3 В работе (3) я впервые работал с цепями Маркова (процессы рождения и смерти) и решил методом А.Н. Колмогорова стохастическое уравнение, записанное в форме Ланжавена, определив его параметры.
4 В работе Луки Лоуверса (17) введено понятие «слабого ω-Чичильницкой правила Ф:Хω → Х, определённого на любом пространстве Х, при этом хЄХω означает, что х состоит из блоков одинаковых предпочтений и одинаковой длины
5 Х = ((х0,…,х0), (х1,…,х1),…,(хn,…,хn),…) →Ф(х01,….хn,…).
6 При этом 1) Ф непрерывна по отношению к топологии Тихонова на произведении Хω , 2) Ф конечно анонимна (переставляются только блоки) и 3) х0 = х1 =…=хn = у, то Ф(у,у,…,у,…) =у (единодушие «по блокам»). Л.Лоуверс доказал следующую теорему.
7

Теорема. Не существует слабого ω-Чичильницкого правила в любое хаусдорфово пространство Х.

8

Пример.

9 Ослабим условия 1) и 2) и построим непрерывное отображение Ф:Хω→Х, если Х является С = Dω канторовским множеством. Представим С в виде бесконечного произведения С = Сω это снова С и через Q обозначим диагональ в Сω. Пусть Ф: Сω → С ретракция на Q=С. Если убрать все блоки, то уважение согласия выполнено. Отображение непрерывно в топологии Тихонова. Для конечных произведений симметрично.
10 Топологическое агрегирования предпочтений: случай континуума агентов (Саndeal, Chichi., Indurian, Efimov, Koshevoy, Luc Lauwers).
11 Адекватная топология для этого случая - компактно-открытая. Эта топология имеет в качестве предбазы : множество всех функций, которые переводят данное компактное множество К С I в данное открытое U С Х.
12 Эта топология отождествляется с топологией равномерной сходимостью на компактах, когда Х равномерное пространство.
13 Пространство предпочтений Х – равномерное хаусдорфово топологическое пространство, например, метрическое и континуум индивидуумов описываемый единичным интервалом [0, 1], наделённым обычной топологией и Лебеговой мерой. С(С(0, 1)Х обозначает множество простых отображений, т.е. отображения конечно определённые. Простое отображение может быть представлено так: S = х1q1А1,…хnqА ● Континуальное правило ЧиЧи на Х есть отображение
14 Ф: L([0,1], X) →X
15 Удовлетворяющую следующим условиям:
16 (I ) НЕПРЕРЫВНОСТЬ: ф непрерывна в топологии произведения Хn
17 (ii) АНОНИМНОСТЬ: Для любого конечного разбиения (Еi) отрезка (0,1), µ(Еi)=1/n , (I =1,…,n) имеем ф(х1,…,хn) = ф(хi1,…,хin) для любой перестановки (1,…,n).
18 (iii) УВАЖЕНИЕ СОГЛАСИЯ: ф(х,…,х) = х для каждого хЄХ.
19 Топологическое агрегирование предпочтений в случае, когда множество агентов имеет любую мощность.
20 В качестве индексов участников рассмотрим точки обобщённого канторовского дисконтинуума Dµ = П(0i, 1i), iЄµ, µ больше или равно с – мощность континуума. Как раньше, мы рассматриваем множество простых отображений f: Dµ → (1, 0), т.е. разбиение Dµ на два непустых дизъюнктных открыто-замкнутых множества (в топологии Тихонова). Множество всех таких разбиений имеет мощность ехрехр (µ) и образует канторовский дисконтинуум веса ехр (µ) и мощности ехрехр (µ), так как компактно-открытая топология на простых отображениях совпадает с тихоновской. Это происходит потому, что все пары этого разбиения образуют предбазу тихоновской топологии. Пусть
21 ф: П(Dµi, µi = µ, iЄµ) → Dµ
22 ретракция Dµ на диагональ произведения П(Dµi, µi = µ, iЄµ) =тор Dµ непрерывная в тихоновской топологии. Тогда (1) выполнено по определению, (2) выполнено для любой конечной перестановки участников (доказательство позже), (3) УВАЖЕНИЕ СОГЛАСИЯ: ф(х,…,х) = х для каждого хЄ Dµ (Это доказывается предъявлением конкретной непрерывной в тихоновской топологии ретракции Dµ на свою диагональ).
23

Замечание. Пусть ω1, ω2, ω3, …, возрастающая последовательность бесконечных кардинальных чисел, сходящаяся к числу ωω- первому предельному кардинальному числу ωω. Рассмотрим произведение

24 D = ПDωi=Dµ, если sup (ωi : iЄN) = ωω.
25

Можно доказать, что нельзя переставить местами точку, одна из координат которой является ωi с точкой ωω. Таким образом, не любые перестановки участников возможны. Это даёт ограничение на равноправие участников и принцип «уважение согласия» не работает.

26 Cчётно полные ультрафильтры и р-точки нароста (бета)N минус N стоун-чеховского расширения (бета)𝐍 натуральных чисел N.
27 Напомним, что ультрафильтр U называется счётно полным, если для каждого подмножества (Sn: nЄω) C U, следует, что пересечение (Sn: nЄω) Є U. (Т.Йех, стр.50)
28

Теорема. Всякий счётно полный ультрафильтр U на множестве N натуральных чисел, рассматриваемых в дискретной топологии, соответствует однозначно р-точке нароста (бета)N минус N стоун-чеховского расширения N, к которой он сходится. Обозначим (бета)N через вN.

29

Доказательство. Заметим, что, если ультрафильтру U соответствуют, например, две точки х1 и х2 из вN-N, к которым он сходится, то существуют дизъюнктные окрестности Ох1 и Ох2 в вN такие, что замыкания (Ох1 )*и ( Ох2 )* не пересекаются и содержат бесконечное множество точек вN – N. Так как вN экстремально несвязно, а вN-N компакт, то (Ох1 )*и ( Ох2 )* не пустые, открытые и непересекающиеся множества, содержащие предельные точки для U. Пусть, например, х1‡ х2 те самые точки. Тогда, так как (Ох1 )*и ( Ох2 )* не пересекаются в вN-N, то х1 и х2 не являются р-точками, соответствующий ультрафильтр U не является счётно полным. Теорема доказана.

30

Теорема. Существует счётно аддитивный ультрафильтр U на N, принадлежащий границе Феллера счётного марковского процесса. Замечание. Впервые такие марковские процессы построил Г.Шоке (я уже писал об этом). Один из них он назвал «редким», а другой – «стремительным». Он доказал, что оба процесса принадлежат границе Феллера (ближней, если он принадлежит ей, дальней, если он не наблюдаемый). Заметим, что оба эти процесса не наблюдаемы, если они не принадлежат ближним границам. Доказательство потом.

31

Теорема. Каждой дальней точке границе Феллера счётного марковского процесса соответствует бесконечный потенциал, который даёт оценку среднего времени сходимости процесса или попадания его в яму, в которой он остаётся навсегда.

32 Доказательство потом.
33

Лестница Кантора.

34 Непрерывное, неприводимое (т.е. любое собственное замкнутое подмножество не отображается на) отображение F канторова совершенного множества С на окружность К.
35

36 Описание отображения. Лестница Кантора – это ломанная линия с бесконечным множеством ступенек . В середине самая большая ступенька, справа и слева (a,b) и (e,f)-две поменьше. Само множество Кантора С лежит на отрезке (0,0), (0,1). Окружность К – это диагональ (выделена красным цветом) при условии, что точки (0,0) и (1,1) склеены. На каждом выброшенном интервале при его построении, отображение взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Все двоично – иррациональные точки (т.е. не представимые в виде a/2n ни при каком целом а) – остаются неподвижными. Таким образом, отображение F Неприводимо. Доказательство потом.
37 Подход Патрика Саппса к классической модели осциллятора (29 cтр. 311).
38 Рассмотрим простейшую автономную колебательную систему, которая описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка
39 d2E/dt2 + q2E = 0, (1*) которое в физике описывает, так называемый, гармонический осциллятор (1). Вводя вспомогательные переменные Н = dЕ / dt, dН/dt = -q2 Е перейдём к нормальной системе двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентной (1*)
40 dЕ/dt = Н, dН/dt = -q2Е (2*) Общее решение этой системы представляется в виде
41 Е(t) = Аsin(qt + а) Н(t) = Асоs(qt + а) (3*)
42 И является периодическим решением динамической системы (3*)
43 Переходя к фазовому пространству (Е,Н), получим уравнения траекторий в этом пространстве – семейство эллипсов на плоскости
44 Е22 + Н2/(qА)2 = 1 (4*)
45 П.Саппес и де Боррос предложили учитывать интерференцию при действии осциллятора.
46 Подробнее (22 и 23). Таким образом, в этой работе обычное поле
47 Бильярды Я.Г. Синая (24, Лекция 10)
48 Пусть Q ограниченная область в евклидовом пространстве Rn с кусочно-гладкой границей. Я.Г.Синай называет бильярдом динамическую систему, порождённую равномерным прямолинейным движением материальной точки внутри Q с постоянной скоростью и с отражением на границе, при котором тангенциальная составляющая скорости остаётся неизменной, а нормальная составляющая меняет знак.
49 Фазовое пространство бильярда состоит из всевозможных наборов (q,v), где qЄQ, а v – вектор скорости, т.е. элемент единичной сферы к-мерного пространства. В таком случае q называется носителем точки х.
50 Меру в фазовом пространстве зададим в виде dµ = dqdр, где dр – равномерное распределение на единичной сфере к-мерного пространства точек х = (q, v), имеющих носителем q. Мера µ конечна, и мы будим считать, что она нормирована.
51 Утверждение (Я.Г. Синай): Мера µ является инвариантной мерой бильярда.
52 В дальнейшем нас будет интересовать только движение бильярдного шара на прямоугольном столе без луз.
53 Утверждение (Я.Г. Синай) Мера µ в прямоугольном бильярде не является эргодической.
54 Для эргодичности движения на прямоугольнике необходимо и достаточно, чтобы тангенс соответствующего угла наклона на обмотке тора был иррационален (для квадрата). В книге (25) приводится множество полезных свойств прямоугольных бильярдов. Далее, по методу В.И. Арнольда «Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира, Квант, МЦНМО, 1998, №1,стр.1-7 рассматривается расслоение тора и его индексацию стационарными марковскими цепями. (Впрочем, вы можете посмотреть сами – журнал доступен по интернету). Переходя к прямоугольному бильярду Синая, а ещё точнее к прямоугольнику, правый верхний угол которого соответствует первому несчётному предельному кардиналу (замечание на стр.3) Рис.3
55

56 На левом рисунке показан бесконечный потенциал в точке (х*,ωω), который описывает силу притяжения к равновесному состоянию (х*,ωω), в гауссовом случайном процессе на прямой.
57 Этот прямоугольник М рассматривается в обычной топологии плоскости и содержит внутри себя всюду плотное подмножество М1 , состоящее из точек, характер которых строго меньше ωω, в то время как точки верхней и правой границы имеют характер равный ωω . (Напоминаю, что характером точки в топологии называется минимальная мощность базы окрестностей этой точки). Разумеется, такая ситуация на плоскости возможна, если предположение ωω < 2ω непротиворечиво и совместимо. Как показал Йех, такое возможно, если существуют счётно полные ультрафильтры на N. В начале этой работы я показал, что если граница Феллера существует и не наблюдаема, то соответствующая ей точка из вN-N является р-точкой. Таким образом, счётно полный ультрафильтр существует и гипотеза ωω < 2ω непротиворечива. На Рис.3 (правый) показан, так называемый, спектр компакта – распределение характеров его точек по областям. Таким образом, получаем убывающую последовательность (счётную) множеств Хn (квадратов) такую, что характер каждой точки которой не меньше ωn и, соответственно, получаем убывающую последовательность Уn (углов) такую, что характер каждой точки которого не больше ωn. Легко видеть, что характер каждой точки самого большого угла не больше ω1. Можно считать, что точка (0,0) изолирована, т.е. имеет характер 1.
58 Далее, сворачиваем прямоугольник в двумерный тор и рассматриваем какую-нибудь невырожденную динамическую систему на этом торе. Далее, кодируем её каким-нибудь стационарным марковским процессом: на каждой траектории выбираем значение хn с наименьшим номером попавшим на эту траекторию. Ясно, что траекторию до хn можно не рассматривать, так как её предел определяется только хn . Так как хn сходится к предельному состоянию х* марковского процесса, то существует окрестность Ох* такая, что вне этой окрестности лежит конечное множество таких точек. Выбросив их получим, что все оставшиеся проголосуют так, как голосует предельный участник.
59 Возвращаясь к замечанию на стр.3, видно, что появились возможности реализовать в этой модели некоторое подобие свойства ЕДИНОДУШИЯ. Например, для любой траектории и любом значении марковского процесса х на ней – всю траекторию до х можно выбросить и единодушие не изменится.
60 Однако, возникает подозрение, что «платой» за выполнение принципа ЕДИНОДУШИЯ будет появление невидимого диктатора.

Библиография

1. Ю.Н. Гаврилец, Б.А.Ефимов, Изменение предпочтений индивидов в социальной среде. ЭММ, т.33 №2, 1997, стр.76-93.

2. Ю.Н. Гаврилец, Б.А.Ефимов , Теоретико- игровая модель формирования установок индивидов в референтной группе. ЭММ, т36, №1,2000, стр. 116-126.

3. Б.А.Ефимов, Стохастические модели формирования установок индивидов в социальной среде, Сб. «Математическое и компьютерное моделирование социально-экономических процессов» (ред. проф. Ю.Н. Гаврилец ) вып.2, ЦЭМИ, М., 2001, стр. 23-45.

4. Ю.Н. Гаврилец, Б.А.Ефимов , Влияние наличия структуры межличностных связей в референтной группе на формирования индивидуальных установок в ней. Сб. «Математическое моделирование социальных процессов», (ред. А.А. Самарский и др.) вып. 4, МГУ, М., 2002, стр. 20-27.

5. Б.А.Ефимов, У.Х. Малков, Формирование установок индивидов при их нелинейном взаимодействии, Сб. Математическое моделирование социальных процессов», (ред. А.А. Самарский и др.) вып. 5, МГУ, М., 2003, стр. 58-84.

6. Б.А.Ефимов, О влиянии измерения установок индивидов на процесс их формирования в социально-психологических полях. Сб. «Математическое моделирование социальных процессов», (ред. А.П. Михайлов и В.А.Шведовский), вып.8 МГУ, М., 2006, стр.93-112.

7. Б.А.Ефимов, Г.Г.Пирогов, Математические модели социально-экономической справедливости: поведенческий подход. ( Сообщение на Третьем Социологическом Конгрессе в Москве, 2006) Опубликовано в

8. Сб. «Математическое моделирование социальных процессов», (ред. А.П. Михайлов и В.А.Шведовский), вып.8 МГУ, М., 2006, стр.84-86.

9. А.А. Гусейнов, В.И. Жуковский, К.Н. Кудрявцев, Математические основы золотого правила нравственности, URSS, Москва, 2016.

10. Кемень Дж, Томсон Дж. , Влияние психологического отношения (установки) на исходы игр. Сб. «Матричные игры» (ред. Н.Н. Воробьёв), стр.221-253, Физматгиз, М. 1961

11. Валерий Васильев, «А-равновесие и нечёткое А-ядро в модели чистого обмена с экстерналиями», Матем. Теория игр и её приложения, т. 7, №1, 2015, стр. 15-31.

12. И.Х. Ибрагимов, Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике, УМН том 47 (1992), вып.4 стр.83-144.

13. И.Х. Ибрагимов, Азбука группового анализа. «Математика, кибернетика» Новое в науке, «Знание», 1989, №8.

14. Б.А.Ефимов, Непрерывные правила агрегирования локальных предпочтений индивидов, ЭММ, 1989, т. 25, №2 стр. 299-313.

15. Б.А.Ефимов, О парадоксе непрерывного группового выбора, Сб. «Принятие решений и анализ экспертной информации» (ред. Б.Г. Литвак), Вопросы кибернетики, вып.151, ГКНТ. М.,1989 с. 41- 59.

16. Luc Lauwers, Topological manipulators form an ultrafilter, Soc. Choice Welfare, (2004) v 22, p. 437-445.

17. Luc Lauwers , Topological aggregation, the case of an infinite population “Topological Social Choice” (ed. G.M. Heal), Springer, 1997 p.173

18. Candeal J., Chichilnisky G., Indurain E., Topological aggregation of preferences: the case of a continuum of agents Topological Social Choice” (ed. G.M. Heal), Springer, 1997 p.187

19. Mehta P. Topological methods in social choice: an overview, Topological Social Choice” (ed. G.M. Heal), Springer, 1997 p.87

20. И.Г. Каплан, Межмолекулярные взаимодействия. Физическая интерпретация, компьютерные расчёты и модельные потенциалы, Издательство БИНОМ, Лаборатория знаний, М., 2012.

21. Потенциал Леннард-Джонса (Википедия) – модель парного взаимодействия неполярных молекул.

22. Patrick Suppes and J.A. de Barros, Photons, Billiards and chaos, in P.Weingartner and G.Schurz (Eds), Law and Prediction in the Ligh of Chaos Research, Lecture Notes in Physics, Berlin, Springer, 1996

23. Patrick Suppes and J.A. de Barros, A random walk approach to interference, Intern. Journal of Theor. Physics 33, 179-189, (1994).

24. Яков Синай, Бильярды, Введение в эргодическую теорию, Фазис, М., 1996, (Лекция 10).

25. Г.А. Гальперин, А.Н. Земляков, Математические бильярды, «Квант», вып. 77, «Наука», М., 1990.

26. Т. Йех, Теория множеств и метод форсинга, «Мир», Москва, 1973.

27. I. Juhasz and other, Cardinal functions in topology, Math. Centre Tracts, v34, Amsterdam, 1971.

28. I. Juhasz, Cardinal functions in topology - ten years later, Math. Centre Tracts, v123, Amsterdam, 1980.

29. J. A. de Barros and Patrick Suppes, Quantum mechanics, interference and the brain, Journal of Mathematical Psychology, 53 (2009) 306-313.

30. Б.А.Ефимов, О периодических решениях динамических систем, связанных с равновесием по Нэшу бескоалиционных игр. Сб. «Анализ и моделирование экономических процессов» (ред. В.З.Беленький) вып. 10 (2013) стр.97-110.

31. J. C. Candeal, G. Chichilnisky, E. Indurain, Topological aggregation of preferences: the case of a continuum of agents, Topological Social Choice (ed. G. M. Heal), Springer, 1997.

32. Luc Lauwers, Continuity and equity with infinite horizons, Topological Social Choice (ed. G. M. Heal), Springer, 1997.

33. Luc Lauwers, A note on weak ?-Chichilnisky rules , , Topological Social Choice (ed. G. M. Heal), Springer, 1997.

34. Luc Lauwers, Topological Social Choice, Center for Economic Studies, Leuven, Preprint No PIMS-99-2

35. А. Пелчинский, Линейные продолжения, линейные усреднения и их применения к линейной топологической классификации пространств непрерывных функций. «МИР», М., 1970