Mathematical aspects of effective use of diamond jewelry
Table of contents
Share
Metrics
Mathematical aspects of effective use of diamond jewelry
Annotation
PII
S265838870000137-3-1
DOI
10.33276/S0000137-3-1
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Lev Babat 
Occupation: Senior researcher
Affiliation: CEMI RAS
Address: Moscow, Nachimovky prospect 47
Edition
Abstract
There are some mathematical problems connected with making polished diamonds from raw diamonds. These problems are discussed in the article. The main questions and their solutions are considered.
Keywords
Optimization, diamond processing, dynamic models.
Received
09.01.2019
Date of publication
12.01.2019
Number of characters
8180
Number of purchasers
5
Views
472
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf

To download PDF you should sign in

1 Основоположник изучения математических аспектов проблем, связанных с эффективным использованием ювелирных алмазов, – А.А. Фридман. Актуальность данного направления исследований обусловлена тем, что алмазы являются стратегическим сырьём высочайшей удельной ценности. Достаточно сказать, что цена высококачественного алмаза весом в 1 карат (0,2 г) в 1000 раз выше цены 1 карата золота, а цена хорошего бриллианта весом в 1 карат превосходит её уже в 5-8 тысяч раз. Особую значимость в рамках данной проблематики имеют вопросы, связанные с производством круглых бриллиантов (рис. 1) из высококачественных (наиболее ценных) алмазов, т.к. доля круглых бриллиантов в мировом производстве составляет 80%.
2

рис. 1

3 Стоимость круглого бриллианта (при прочих равных условиях) квадратично растёт с увеличением веса, причём при переходе через границы фиксированных весовых интервалов этот рост имеет скачкообразный характер. Вследствие этого суммарная стоимость изготовленных из алмаза круглых бриллиантов во многом определяется стоимостью того из них, чей вес (размер) максимален. Т.е. цена ювелирного алмаза (при прочих равных условиях) во многом определяется стоимостью максимального круглого бриллианта, который можно из него получить. С учётом сказанного при оценке и переработке ювелирных алмазов в круглые бриллианты особое значение приобретают две задачи.
4 Задача 1. Вычислить вес максимального круглого бриллианта, который можно получить из алмаза.
5 Задача 2. Найти расположение в алмазе максимального круглого бриллианта, который можно изготовить из этого алмаза (т.е. указать способ изготовления бриллианта).
6 Для решения этих задач необходимо иметь способ, позволяющий выяснить, возможно ли изготовить круглый бриллиант заданного размера из конкретного алмаза.
7 Высококачественный алмаз представляет собой восьмигранник, получается из правильного октаэдра (идеального кристалла алмаза), смещением плоскостей его граней параллельно самим себе. Такие многогранники (и алмазы) были названы А.А. Фридманом октаэдрическими. На рис. 2 показано, как параллельным смещением граней правильного октаэдра получается типичный октаэдрический многогранник.
8

рис. 2

9 Если бриллиант можно получить из октаэдрического алмаза, то этот бриллиант вкладывается в данный алмаз. Представим себе, что бриллиант B вложен в октаэдрический алмаз (многогранник) A. Подвинем каждую из 8 граней A параллельно самой себе до касания с B. Получится меньший октаэдрический многогранник AB, вложенный в A так, что его грани параллельны соответствующим граням A. Такое вложение октаэдрических многогранников назовём параллельным. Таким образом вопрос о возможности получения того или иного круглого бриллианта из октаэдрического алмаза сводится к вопросу о возможности параллельного вложения одного октаэдрического многогранника в другой.
10 Круглый бриллиант – фигура зеркально симметричная. Поэтому с точки зрения получения из алмаза A круглого бриллианта B возможность параллельного вложения в A многогранника AB эквивалентна возможности параллельного вложения в A зеркального отражения многогранника AB. Таким образом, вопрос о возможности параллельного вложения одного октаэдрического многогранника в другой переходит в задачу о возможности параллельного вложения октаэдрического многогранника или его зеркального отражения в другой октаэдрический многогранник (в задачу о параллельном вложении с точностью до зеркального отражения).
11 С каждым октаэдрическим многогранником (алмазом) можно связать шестимерный вектор, называемый его профилем. Координаты профиля – довольно просто измеряемые линейные параметры многогранника (алмаза), не меняющиеся при зеркальном отражении. Имеет место теорема о параллельном вложении: октаэдрический многогранник A или его зеркальное отражение A* параллельно вкладывается в октаэдрический многогранник B тогда и только тогда, когда координаты профиля A не превосходят соответствующих координат профиля B (Л.Г. Бабат, А.А. Фридман «Параллельные вложения многогранников и эффективное использование природных алмазов», ЭММ т.51, № 3, 2015).
12 Положение круглого бриллианта в алмазе должно удовлетворять некоторым требованиям. Эти требования вызваны технологическими ограничениями, обусловленными наличием в кристалле алмаза так называемых мягких и жёстких направлений. Вложение круглого бриллианта, удовлетворяющее технологическим ограничениям, назовём допустимым.
13 Согласно исторически сложившимся стереотипам считается, что чем больше вес октаэдрического алмаза, тем он дороже. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, чем больше вес алмаза, тем реже он встречается в природе, а редкость, вообще говоря, увеличивает цену. Во-вторых, считается, что чем больше вес октаэдрического алмаза, тем больше вес максимального круглого бриллианта, который может быть из него получен.
14 Используя теорему о параллельном вложении, удалось показать, что второе из обстоятельств, на которые опирается исторически сложившаяся стоимостная оценка алмазов, как правило, не имеет места даже для октаэдрических алмазов. Было показано, что имеют место ситуации, когда в октаэдрический алмаз меньшего веса допустимо вкладывается круглый бриллиант бòльшего веса, чем в октаэдрический алмаз бòльшего веса. Причём такие ситуации настолько часты, что их можно считать стандартными. Этот феномен объясняется тем, что размер максимального круглого бриллианта, который может быть получен из октаэдрического алмаза, определяется в большей степени соотношениями между линейными размерами алмаза (т.е. его формой), чем его весом.
15 Имеет место ещё один результат, опирающийся на теорему о параллельном вложении. Пусть >0. Круглый бриллиант D назовём -оптимальным для алмаза A, если (а) D допустимо вкладывается в A; (б) вес D отличается не более, чем на от верхней границы весов круглых бриллиантов, допустимо вкладываемых в A. Используя теорему о параллельном вложении, удалось предложить метод, который, для любого октаэдрического алмаза A и любого >0, позволяет осуществить следующее: (а) вычислить вес -оптимального для A круглого бриллианта; (б) найти допустимое вложение в A -оптимального для этого алмаза круглого бриллианта. Т.е. удалось построить метод, который для октаэдрических алмазов позволяет найти приближенное решение задач 1 и 2 с любой наперёд заданной ненулевой точностью.
16 К сожалению, доля октаэдрических алмазов среди всех добываемых качественных ювелирных алмазов не слишком велика (около 10%). В связи с этим возникла необходимость в методах, применимых к более широкому кругу алмазов. Удалось так модернизировать метод, предложенный для октаэдрических алмазов, что он стал применим к алмазам, которые получаются из октаэдрических путём повреждения (полного или частичного) вершин и тех рёбер, которым инцидентны грани, образующие острые двугранные углы. Модернизированный метод оказался применим к 25% добываемых качественных ювелирных алмазов.
17 В настоящее время разрабатывается дальнейшая модернизация метода, предложенного для октаэдрических алмазов, с целью его распространения на алмазы, которые получаются из октаэдрических путём повреждения (полного или частичного) вершин и всех ребер алмаза. Такая модернизация метода будет применима к 35% добываемых качественных ювелирных алмазов.
18 Необходимо отметить, что проблемы, связанные с эффективным использованием ювелирных алмазов, мало исследованы, хотя здесь имеется достаточно много трудных и нерешённых математических задач. До сих пор внимание уделялось только задачам о влиянии формы алмаза на стоимость получаемых из него круглых бриллиантов. Открытыми остаются вопросы, связанные с влиянием включений в алмазах на эту стоимость. Кроме того, до настоящего времени не разработаны подходы к изучению алмазов додекаэдрического габитуса. Это связано с тем, что на разрабатываемых якутских месторождениях практически не встречаются алмазы додекаэдрического габитуса. Однако на перспективном Архангельском месторождении такие алмазы встречаются довольно часто. Это обстоятельство повышает актуальность исследования математических аспектов эффективного использования указанных алмазов.