UPPER AND LOWER OPTIMAL STOPPING BOUNDS
Table of contents
Share
Metrics
UPPER AND LOWER OPTIMAL STOPPING BOUNDS
Annotation
PII
S111111110000129-4-1
DOI
10.33276/S0000129-4-1
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Vladimir Khametov 
Occupation: Leading Researcher
Affiliation:
CEMI RAS
MIEM HSE
Address: Moscow, Nachimovky prospect 47
Elena Shelemeh
Occupation: Junior Researcher
Affiliation: CEMI RAS
Address: Russian Federation, Moscow, Nachimovky prospect 47
Edition
Abstract
The objective of the article is to explore properties of value sequences and stopping moments in discrete time optimal stopping problem with final horizon for adapted sequence of random variables in ordinary, maximax and maximin cases. To deal the problems methods of stochastic dynamic programming were used. There have been established conditions under which upper (lower) truncated sequence of values satisfies Bellman type recurrent relation.For optimal stopping moments in above stated problems this allows to construct criterion, to give their structure and to prove invariance property.Theoretical results given in the article are applicable in many fields, including problems of financial mathematics, such as calculation of options, callable bonds and bonds with the right of early redemption.
Keywords
maximax (maximin) optimal stopping problem, upper (lower) bound of optimal stopping value, optimal stopping moment, recurrent relation, invariance property of optimal stopping moment.
Received
12.12.2018
Date of publication
13.12.2018
Number of characters
8791
Number of purchasers
4
Views
586
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf

To download PDF you should sign in

1 Введение
2 Многие прикладные проблемы сводятся к задачам оптимальной остановки. Например, в разделе финансовой математики к таким задачам относится проблема расчета американского опциона и связанные с ней задачи расчета отзывной облигации и облигации с правом досрочного выкупа, а также задачи оценки инвестиционных проектов, в том числе, в сфере добычи полезных ископаемых, внедрения новых технологий и подобные им задачи.
3 Решению задач об оптимальной остановке в различных постановкахпосвящено множество работ, например, монографии [1]-[7]. При построении решений указанных задач, как правило, предполагается, что наблюдателю известно распределение вероятностей останавливаемой последовательности, т.е. рассматривается задача в стандартной постановке [1]-[2]. Стандартная задача об оптимальной остановке возникает также в финансовой математике при расчете опционов американского типа на полном рынке[3]-[4].В работах [1]-[4] приведены основные результаты, полученные на настоящий момент для указанной задачи, включая рекуррентное соотношение для огибающей Снелла и вид оптимального момента остановки.
4 Более интересен и менее исследован случай, когда наблюдатель не располагает информацией о распределении останавливаемой последовательности. В этом случае возникает потребность в рассмотрении задач об оптимальной остановке в максимаксной и максиминной постановке, когда от ожидаемого значения останавливаемой последовательности сначала берется верхняя (нижняя) грань по некоторому множеству вероятностных мер, а затем - верхняя грань по конечному множеству моментов остановки (например, задача расчета американского опциона на неполном рынке [3]-[4]).
5 Задача об оптимальной остановке в максимаксной (максиминной) форме рассматривалась в статьях [5]-[7], в которых получены следующие важные результаты. В статье [5] в предположении, что наблюдается согласованная последовательность, сформулированы условия, при выполнении которых: 1) эволюция нижнего значения цены оптимальной остановки удовлетворяет рекуррентному соотношению беллмановского типа; 2) некоторый момент остановки оптимален. Кроме того, в указанной статье приведено несколько примеров расчета опционов различных типов. В цикле работ [6]-[7] в предположении, что наблюдаются согласованные cadlag процессы, сформулированы задачи о построении нижней и верхней огибающих Снелла. Исследованы свойства этих огибающих Снелла, а также установлены условия: 1) применимости принципа Беллмана; 2) существования оптимального правила остановки.Дальнейшему исследованию свойств последовательностей цен и моментов остановки для задач об оптимальной остановке согласованной случайной последовательности с дискретным временем и конечным горизонтом в стандартной, максимаксной и максиминной постановках посвящена эта статья.
6 Основные результаты
7 1. Будем использовать следующие обозначения:
8 1), где N – натуральное число (горизонт задачи);
9 2) - стохастический базис, вероятностную меру P называют базовой;
10 3) - согласованная d-мерная наблюдаемая случайная последовательность, причем;
11 4) - согласованная случайная последовательность значений функции полезности, зависящей от значений наблюдаемой случайной последовательности (определение и свойства функции полезности см., например, в [3]);
12 5) RN - множество вероятностных мер Q, эквивалентных базовой мере P ();
13 6) - момент остановки со значениями в N0, - множество таких моментов остановки, а - сужение на множество.
14 2. Постановка задач. Рассматриваются следующие три задачи об оптимальной остановке.
15

Задача 0:

16 Задача 0 –стандартная задача об оптимальной остановке последовательности [1]-[2]. Она может быть интерпретирована следующим образом. Пусть: 1) - функция полезности наблюдателя в момент времени n; 2) наблюдателю известно распределение вероятностей. Тогда задачей наблюдателя является выбор такого момента времени, который бы максимизировал его ожидаемую полезность, т.е. задача 0.
17

Задача 1:

18 Пусть: 1) - функция полезности наблюдателя в момент времени n; 2) наблюдателю известно, что. Тогда задача наблюдателя состоит в выборе таких и, которые бы максимизировали значение его ожидаемой полезности. Например, известно [3]-[4], что задача расчета американского опциона на неполном рынке сводится к максимаксной задаче 1.
19

Задача 2:

20 Задача 2 имеет игровую интерпретацию. Пусть имеется два игрока: наблюдатель и природа. Стратегиями наблюдателя являются моменты остановки[[[image17]]], а природы – вероятностные меры. Положим, что: 1) игроки действуют независимо друг от друга; 2) наблюдатель разумен в следующем смысле: он предполагает, что в природе реализуется «наихудшая» для него ситуация, когда действует вероятностная мера, минимизирующая значение его ожидаемой полезности. Сам наблюдатель в этих условиях стремится максимизировать значение своей ожидаемой полезности, выбирая соответствующие.
21 Обозначим: , ,.
22 Определение. Последовательность назовем урезанной ценой оптимальной остановки относительно меры, а последовательность (последовательность) – верхней (нижней) урезанной ценой оптимальной остановки.
23 Очевидно, что Q-п.н.
24 Определение. Момент остановки (,) назовем оптимальным в задаче 0 (в задачах 1 и 2, соответственно), если для него имеет место равенство
25 (и).
26 3. Рекуррентные соотношения, описывающие эволюцию верхней и нижней урезанной цен.
27 Следующее утверждение – вспомогательный результат, предлагающий простые условия ограниченности почти всюду элементов последовательностей урезанной, верхней и нижней урезанной цен.
28 Теорема 1. Пусть c – положительная константа такая, что. Тогда для любых и справедливы неравенства, и Q-п.н.
29 Известно [2], что последовательность урезанных цен удовлетворяет рекуррентному соотношению беллмановского типа Q-п.н.
30 ,(1)
31 Следующая теорема дает условия, при выполнении которых последовательность верхних (нижних) урезанных цен также удовлетворяет рекуррентному соотношению беллмановского типа.
32 Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда последовательность (последовательность) удовлетворяет рекуррентному соотношению Q-п.н.
33 .(2)
34 4. Вид оптимального момента остановки. Можно показать, что в условиях теоремы 2 момент остановки (,) является оптимальным в задаче 0 (в задачах 1 и 2, соответственно), если и только если одновременно выполнены условия Q-п.н:
35 1) ( и);
36 2) для любого (и, соответственно) .
37 Из рекуррентных соотношений (2) с учетом свойств как функции полезности имеем следующий критерий оптимальности моментов остановки для задач 1 и 2.
38 Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Момент остановки () является оптимальным в задаче 1 (в задаче 2), тогда и только тогда, когда имеет место равенство
39 ,(3)
40 где последовательности и удовлетворяют рекуррентному соотношению (2)
41 Замечания.1) Известно [1]-[4], что момент остановки является оптимальным для задачи 0, где последовательность удовлетворяет рекуррентному соотношению (1).
42 2) Утверждение теоремы 3 отличается от известных утверждений подобного сорта тем, что в нем устанавливается не только достаточность, но также и необходимость выполнения равенств (3).
43 Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда справедливо неравенство Q-п.н.
44 5. Инвариантность оптимальных моментов остановки в задачах 1 и 2.
45 Обозначим ,.
46 Определение. Оптимальный момент остановки назовем -инвариантным в задаче 1 (в задаче 2), если для любых и справедливо неравенство Q-п.н.
47 Теорема 5. Моменты остановки, , определенные равенствами (3), являются -инвариантными в задачах 1 и 2, соответственно.
48 Заключение
49 В статье получены новые результаты для максимаксной и максиминной задач об оптимальной остановке: условия, при выполнении которых последовательности верхних и нижних урезанных цен удовлетворяют рекуррентным соотношениям беллмановского типа; вид и структура оптимальных моментов остановки, их свойство инвариантности. Утверждения, сформулированные в статье, позволяют строить решения для многих прикладных задач, решая рекуррентные соотношения (2) в явном виделибо методами имитационного моделирования.

References

1. Robbins G., Zigmund D., Chao I. Teoriya optimal'nykh pravil ostanovki. M.: Nauka, 1977. 165 s.

2. Shiryaev A.N. Statisticheskij posledovatel'nyj analiz. M.: Nauka, 1976. 272 s.

3. Fel'mer G., Shid A. Vvedenie v stokhasticheskie finansy. Diskretnoe vremya. M.: MTsNMO, 2008. 496 s.

4. Shiryaev A.N. Osnovy stokhasticheskoj finansovoj matematiki. Tom 2. Teoriya. M.: FAZIS, 1998. 512 s.

5. Riedel F. Optimal Stopping with Multiply Priors // Econometrica, Wiley, 2009. V. 77. Is. 3. P. 857-908.

6. Bayraktar E., Yao S. Optimal stopping for non-linear expectations - Part I // Stochastic Processes and their Applications, Elsevier Publ. 2011. V. 121. Is. 2. P. 185-211.

7. Bayraktar E., Yao S. Optimal stopping for non-linear expectations - Part II // Stochastic Processes and their Applications, Elsevier Publ. 2011. V. 121. Is. 2. P. 212-264.