Retrospective detection and evaluation of structural shifts in non-stationary macroeconomic models
Table of contents
Share
Metrics
Retrospective detection and evaluation of structural shifts in non-stationary macroeconomic models
Annotation
PII
S111111110000126-1-1
DOI
10.33276/S0000126-1-1
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Boris Brodsky 
Occupation: Head Research Associate
Affiliation: CEMI RAS
Address: Russian Federation, Moscow, Nachimovky prospect 47
Edition
Abstract
The article deals with the problems arising from econometric modeling using non-stationary data. Structural changes are one of the most common types of macroeconomic nonstationarity. For the considered class of nonstationary models of systems of simultaneous equations, the essence of the structural shift consists in a steady change in a certain coefficient of the model. The paper proposed a non-parametric method for detecting and estimating structural shifts, and it is argued that the probabilities of errors of the 1st and 2nd kind for the proposed method tend to zero as the sample size increases. The results of simulation indicate the effectiveness of the proposed method.
Keywords
Macroeconomic models, structural shifts in the economy, simulation modeling
Received
06.12.2018
Date of publication
13.12.2018
Number of characters
16705
Number of purchasers
4
Views
540
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf

To download PDF you should sign in

1 1. Введение: обнаружение структурных сдвигов в системах одновременных уравнений (СОУ)
2 Модель системы одновременных уравнений может быть преобразована к следующему виду (см. Айвазян, Бродский (2018)):
3

4 где Yt - вектор эндогенных переменных модели; Xt - вектор пре-детерминированных переменных; П - матрица размера, которая может измениться в неизвестные моменты. Здесь; - вектор случайных шумов; момент t может изменяться в диапазоне, где N - объем выборки.
5 Эта системы уравнений называется редуцированной формой модели СОУ с переменной структурой.
6 Рассматриваемая задача состоит в оценивании неизвестных моментов, где.
7 Здесь
8

9 где - неизвестные векторы.
10 2. Предположения
11 Пусть задано вероятностное пространство. Рассмотрим фильтрацию, где Fn - объем информации, доступной к моменту n.
12 Принятая здесь система предположений основана на двух правдоподобных посылках:
13 1) Статистическая зависимость между "прошлым" и "будущим" наблюдаемых феноменов ослабевает с увеличением расстояния между ними.
14 Эта посылка может быть формализована в виде предположений "перемешивания" или "слабой зависимости" наблюдений (см. Doukhan, Louhichi, 1999):
15 Условие "слабой зависимости" выполнено в большинстве практически важных случаев. В частности, Nze, et al. (2002) показали, что условие -слабой зависимости обобщает условия перемешивания, ассоциированности и другие условия для гауссовских последовательностей и "сдвигов Бернулли". В работе Nze, Doukhan (2004) было установлено, что все ARMA процессы, билинейные процессы и др. являются -слабо зависимыми, и можно ограничиться -слабо зависимыми процессами при рассмотрении всех практически важных случаев в статистике.
16 2) "Хвосты" плотностей распределения случайных величин убывают достаточно быстро.
17 Эта посылка формализуется в виде условия Крамера (см., например, Петров (1972)).
18 Условие Крамера:
19 Говорят, что последовательность удовлетворяет равномерному условию Крамера, если существует T>0 такое, что для каждого i, при.
20 Сформулируем теперь дополнительные предположения о предикторах и шумах. Мы предполагаем, что эти последовательности строго стационарны и выполнены следующие условия:
21 1) вектор предикторов является -измеримым;
22 2) существует непрерывная матричная функция такая, что для всех
23

24 где - положительно определенная матрица;
25 3) векторная случайная последовательность удовлетворяет условию -перемешивания (или -слабой зависимости) а также равномерному условию Крамера;
26 4) последовательность шумов является мартингал-разностью относительно фильтрации.
27 3. Метод
28 Предлагаемый метод для обнаружения и оценивания структурных сдвигов конструируется следующим образом. Вначале рассмотрим последовательность матриц:
29

30 Далее определим последовательность матриц:
31

32 И наконец, определим решающую статистику:
33

34 где и, по определению,.
35 Отметим, что для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы вектора были линейно независимыми при. Событие, состоящее в том, что они линейно зависимы, имеет вероятность нуль. Поэтому эти вектора п.н. линейно независимы и матрица п.н. существует.
36 Зафиксируем теперь параметр. Для обнаружения момента разладки m рассмотрим событие
37

38 где C - некоторый решающий порог, PAP - норма матрицы A.
39 Ниже через обозначена мера (математическое ожидание), соответствующая случайной последовательности без разладки, а через - последовательности с разладкой в момент m. Пусть также H0 обозначает гипотезу статистической однородности наблюдений (нет структурных сдвигов).
40 Далее рассмотрим следующие критерии эффективности для метода обнаружения разладки:
41 1) вероятность ошибки 1-го рода ("ложная тревога")
42

43 2) Вероятность ошибки 2-го рода ("пропуск цели"):
44

45 4. Основные результаты
46 В следующей теореме получена экспоненциальная оценка сверху для вероятности ошибки 1-го рода.
47 Теорема 1.
48 Предположим, что выполнены условие Крамера и -перемешивания (-слабой зависимости), а также условия 1), 3), 4). Тогда для всех C>0 и достаточно больших N справедлива следующая экспоненциальная оценка сверху для вероятности ошибки 1-го рода:
49

50 где константы L1, L2 не зависят от N.
51 Доказательство Теоремы 1 опираетсяя на результаты работы Айвазян, Бродский (2018) и здесь не приводится.
52 Таким образом, вероятность ошибки 1-го рода экспоненциально стремится к нулю для предложенного метода при широких предположениях о вероятностном законе распределения наблюдений.
53 Далее изучается вероятность ошибки 2-го рода Рассмотрим матрицу размера:
54

55 Обозначим I=A(1). Для каждого матрица A(t) положительно определена.
56 Для любого определим функцию:
57

58 где E единичная матрица размера.
59 Тогда. Определим точку глобального максимума функции на отрезке [0,1]: корень уравнения, т.е.. В силу предположений этот корень существует и единствен.
60 Выберем порог принятия решений. Справедлива следующая теорема.
61 Теорема 2.
62 Пусть выполнены условия 1)-4) и, где. Определим. Тогда при выполнении условий Крамера и -перемешивания (-слабой зависимости) выполнена следующая экспоненциальная оценка сверху для вероятности ошибки 2-го рода:
63

64 где константы не зависят от N.
65 Доказательство Теоремы 2 опираетсяя на результаты работы Айвазян, Бродский (2018) и здесь не приводится.
66 Таким образом, вероятность ошибки 2-го рода экспоненциально стремится к нулю при возрастании объема выборки N.
67 Предложенный метод далее использован для обнаружения множественных структурных сдвигов в СОУ-моделях.
68 Широко распространенный метод решения этой задачи (см., например, Bai, Lumsdaine, Stock (1998)) заключается в разбиении полученной выборки наблюдений на все возможные побвыбрки и построении регрессионных оценок для каждой из этих подвыборок. Тогда разбиение, дающее миниммум суммы регрессионных остатков, принимается в качестве оценки для разбиения выборки на подвыборки с различными регрессионными режимами.
69 Этот метод требует много машинного времени и имеет низкую мощность. Например, если в полученной выборке имеется только один структурный сдвиг и, следовательно, только два регресионных режима, но исследователь не знает этого и перебирает все подвыборки вплоть до минимального объема наблюдений, то этот перебор займет много машинного времени и будет доставлять много ложных структурных сдвигов.
70 В работе предложен метод обнаружения и оценивания множественных структурных сдвигов, который не основывается на регрессионных оценках и вычислении регрессионных остатков.
71 Далее поясним основную идею этого метода на примере модели многофакторной регрессии с детерминированными предикторами. Пусть - вектор неизвестных параметров разладки таким, что и наблюдений взяты из модели
72

73 Здесь
74

75 где - неизвестные вектора, F(t) - заданная вектор-функция.
76 Рассмотрим основную решающую статистику (6). Математическое ожидание этой статистики сходится при к функции
77

78 Из этого выражения следует, что в ситуации, когда нет структурных сдвигов, т.е. вектор регрессионных коэффициентов постоянен на [0,1], функция m(t) будет тождественным нулем на [0,1], но присутствие структурных сдвигов значимо изменяет функцию m(t). Это свойство позволяет эффективно обнаружить структурный сдвиг в данных.
79 Формальный метод состоит в следующем. Зафиксируем малый параметр и рассмотрим следующие шаги алгоритма:
80 Шаг 1. Рассчитаем статистику (6) по данным в диапазоне аргументов. Если, где C=C(N) - порог принятия решения, то рассчитаем, в противном случае выборка считается однородной (без структурных сдвигов).
81 Шаг 2. Положим и рассчитаем статистику (6) по данным в диапазоне аргументов согласно шагу 1. Этот цикл повторяется до тех пор, пока:
82 1) мы получим однородную выборку данных в диапазоне аргументов, т.е.. Тогда положим в качестве оценки первой точки структурного сдвига и далее переходим к шагу 3.
83 или
84 2) получим объем выборки. Тогда положим и перейдем к шагу 3.
85 Шаг 3. Положим и рассчитаем статистику (6) по данным в диапазоне аргументов (т.е. с относительными аргументами) и далее повторяем шаги 1 и 2. Этот цикл повторяется до тех пор, пока не получена однородная выборка данных в диапазоне аргументов или. Тогда положим в качестве оценки следующей точки структурного сдвига. Если то останавливаемся, в противном случае повторяем шаг 3 по данным в диапазоне аргументов.
86 Как результат мы получим ряд оценок n(1),n(2), истинных моментов разладки. Количество этих оценок определяется числом стационарных подвыборок
87

88 . Предложенный метод основан на редукции к случаю одного структурного сдвига. Ключевым моментом является здесь вычисление порога принятия решения C(N), зависящего от объема выборки N.
89 Итак, пусть [[[image95]]] - оценка количества моментов структурных сдвигов в выборке, а - вектор координат этих моментов. Справедлива следующая
90 Теорема 3.
91 Предположим, что выполнены предположения теоремы 2. Более того, допустим, что существуют такие числа, что для всех:
92

93 Тогда для любого достаточно малого:
94

95 где константы не зависят от N.
96 Из теоремы 3 следует, что оценка числа моментов структурных сдвигов сходится п.н. к истинному значению этого параметра. а координаты этих оценок - к истинным координатам моментов структурных сдвигов п.н. при.
97 5. Имитационное моделирование
98 В этом параграфе представлены результаты имитационного моделирования предложенного метода, предназначенного для обнаружения и оценивания структурных сдвигов в моделях СОУ с переменной структурой, в сравнении с другими широко известными методами решения подобных задач. На сегодняшний день наиболее известны следующие методы:
99 - Тест Чоу, часто используемый в эконометрических пакетах (Chow, 1960);
100 - Метод CUSUM (кумулятивных сумм), основанный на рекурсивных регрессионных остатках (Brown, Durbin, Evans, 1975);
101 - Метод CUSUM, основанный на обычных регрессионных остатках (OLS CUSUM test, Ploberger, Kramer, 1992);
102 - Флуктуационный тест (Ploberger, Kramer, Kontrus, 1989);
103 - Тест Вальда (Andrews, 1993, Andrews, Ploberger, 1994);
104 - LM тест (Lagrange Multilpier test, Andrews, 1993).
105 Однако хорошо известно (см., например, Maddala and Kim (1998)), что именно тест Вальда обладает наилучшими характеристиками в обнаружении структурных сдвигов в регрессионных моделях. Статистика этого теста определяется следующим образом:
106

107 где S(N) - сумма регрессионных остатков, построенных для регрессионной модели по всей выборке объема N; S1(m) - сумма регрессионных остатков, построенной по модели, использующей первые m наблюдений; S2(N-m) - то же для модели, использующей последние N-m наблюдений.
108 Оценка момента структурного сдвига определяется как, а соответствующая оценка параметра структурного сдвига - как.
109 Сравнительный анализ характеристик различных методов проводится следующим образом. Вначале методы "уравниваются" по частоте ошибок 1-го рода. Для этого используются эксперименты с однородными выборками (без структурных сдвигов), в которых рассчитываются 95-процентные квантили вариационного ряда, построенного по значениям решающей статистики метода в 1000 независимых посвторениях эксперимента. Затем с использованием этого 95-процентного квантиля в качестве решающего порога проводятся эксперименты в неоднородными выборками различного объема. в которых рассчитываются оценки вероятности ошибки 2-го рода и моментов структурных сдвигов. Метод "а" является более предпочтительным в сравнении с методом "б", если при том же значении оценки вероятности ошибки 1-го рода он дает меньшее значение оценки вероятности ошибки 2-го рода.
110 Множественные структурные сдвиги в многомерных СОУ
111 Рассматривалась следующая многомерная система:
112

113 где - стандартные гауссовские N(0,1) белые шумы.
114 Здесь - вектор эндогенных переменных, - вектор предетерминированных переменных для рассматриваемой системы.
115 Динамика этой системы характеризуется следующим вектором коэффициентов:. Начальные значения этих коэффициентов таковы. Первый структурный сдвиг происходит при. При этом вектор коэффициентов u изменяется на. Второй структурный сдвиг происходит при. Вектор кооэффициентов становится равным.
116 В первой серии тестов оценивался решающий порог . С этой целью, как и выше, проводились эксперименты с однородными выборками. Была использована модель с начальным вектором коэффициентов u. В 1000 независимых повторениях эксперимента рассчитывались максимумы модля решающей статистики и затем 95- и 99 процентный квантили построенного вариационного ряда (максимумов модуля решающей статистики). Полученные результаты приведены в табл. 1.
117 Таблица 1.
118
200 400 500 700 900 1000 1200 1500
0.28 0.20 0.19 0.18 0.16 0.15 0.145 0.14
0.36 0.33 0.28 0.24 0.23 0.21 0.19 0.17
119 Рассчитанные 95-процентные квантили далее были использованы в качестве решающих порогов в экспериментах с неоднородными выборками различного объема.
120 В следующей серии тестов использовались нестационарные выборки с множественными структурными сдвигами Истинное количество структурных сдвигов равнялось p=2, а параметры этих структурных сдвигов: и. В таблице 9 приведены следующие характеристики:
121 - w - оценка вероятности в 1000 независимых повторениях эксперимента, где pn - оценка количества структурных сдвигов в выборке;
122 - - оценка ошибки оценивания при условии, т.е..
123 Таблица 2.
124
200 400 500 700 900 1000 1200 1500
0.96 0.54 0.39 0.21 0.04 0.03 0.02 0.01
0.02 0.05 0.04 0.02 0.03 0.02 0.01 0.005
125 Нестационарная модель Клейна
126 В своей книге, опубликованной в 1950-м г., Л.Клейн (L.Klein, 1950) представил следующую кейнсианскую модель экономики США в период 1921-1941 гг. Этот период включает в себя Великую Депрессию 1929-1933 гг. Уравнения модели Клейна (в оригинале - построенные по годовым данным) представлены ниже:
127

 

где

Cons - частное потребление;

P - прибыль экономики за вычетом налогов на бизнес;

PW B - затраты на зарплату частного сектора;

GW B - затраты на зарплату государственного сектора;

I - частные инвестиции;

K - капитал частного сектора (на конец года);

PSO - агрегированный выпуск частного сектора;

TIME - индекс времени, 1931- нуль;

G - государственные расходы плюс чистый экспорт;

T - налоги на бизнес;

GNP - ВНП.

128 В этой модели последние 4 уравнения - определения соответствующих переменных; первые три уравнения - регрессионные зависимости. Количество рассматриваемых временных периодов (20) для модели Клейна - слишком мало для обнаружения структурных сдвигов. Однако мы знаем плохие прогностические возможности этой модели, которая включает в себя период кризиса Великой Депрессии. Все это заставляет предположить, что здесь присутствует структурный сдвиг. Для его обнаружения использовались квартальные данные за период 1921-1941 гг.
129 Функциональная форма этой модели совпадает с оригинальной моделью Клейна. Решающим преимуществом изложенного здесь метода является то, что конкретные значения регрессионных коэффициентов - не столь важны для диагностики структурных сдвигов, как сами данные за рассматриваемый период. Именно определение вектора эндогенных переменных, а также вектора предопределенных переменных имеет решающее значение для вывода о наличии структурных сдвигов.
130 Конкретно, для рассматриваемой модели Клейна эти вектора имеют вид:
131

132 Таким образом, M=7 и K=6 для метода, описанного выше, который в результате обнаруживает единственную точку структурного сдвига 1929(3).
133 Представляет интерес вопрос выбора решающего порога данного метода. При выборе этого порога мы исходили из того, что днный метод устойчив к неточностям оценивания регрессионных коэффициентов и поэтому варьирование порога в достаточно широком диапазоне не должно резко изменять оцениваемое количество структурных сдвигов. Далее были проведены эксперименты с различными порогами. При выборе решающего порога C=20 мы получим единственную точку структурного сдвига 1929(3).
134 6. Выводы
135 В работе рассмотрены задачи обнаружения и оценивания структурных сдвигов в макроэкономических моделях, описываемых системами одновременных уравнений (СОУ). Для нестационарности типа структурного сдвига предложен непараметрический метод ретроспективного обнаружения и оценивания. Мы показали, что вероятности ошибок 1-го и 2-го рода для предложенного метода стремятся к нулю при возрастании объема выборки. Результаты имитационного моделирования свидетельствуют об эффективности предложенных методов.

References

1. Ajvazyan S.A., Brodskij B.E.. (2018). Retrospektivnyj analiz strukturnykh sdvigov v modelyakh SOU s peremennoj strukturoj. Ehkonomika i matematicheskie metody. t.54. vyp. 2, 4.

2. Petrov V.V. (1972). Summy nezavisimykh sluchajnykh velichin. M.: Nauka.

3. Andrews, D.W.K. (1993). Tests for parameter instability and structural change with unknown change point. Econometrica, 61, 821-856.

4. Andrews D.W.K., Ploberger W. (1994) Optimal tests when a nuisanse parameter is present only under the alternative. Econometrica, 62, 1383-1414.

5. Ango, Nze, P., Doukhan, P. (2004). Weak dependence. Models and Applications in Econometrics. Economic Theory, 20, 995-1045.

6. Bai, J., Lumsdaine R., & Stock J. (1998). Testing for and Dating Common Breaks in Multivariate Time Series. Review of Economic Studies, 65, 395–432.

7. Brown, R.L., Durbin, J., & Evans, J.M. (1975). Techniques for testing the constancy of regression relationships over time Journal of Royal Statistical Society, Series B, 37, 149–192.

8. Chow G.C. (1960) Tests of equality between sets of coefficients in two linear regressions. Econometrica, 28, 591-605.

9. Doukhan, P., Louhichi S. (1999). A new weak dependence condition and applications to moment inequalities, Stochastic proceses and their Applications, 84, 313-342.

10. Klein L. (1950). Economic Fluctuations in the United States 1921- 1941. Cowles Foundation.

11. Kr?mer, W., Ploberger, W., & Alt, R. (1988). Testing for structural change in dynamic models. Econometrica, 56, 6, 1355–1369.

12. Maddala, G., & Kim, I. (1998). Unit roots, cointegration, and structural change. Cambridge: Cambridge Univ. Press.

13. Ploberger W., Kramer W. (1992) The CUSUM test with OLS residuals. Econometrica, 60, 271-285.

14. Ploberger W., Kramer W., Kontrus K. (1989) A new test for structural stability in the linear regression model. Journal of Econometrics, 40, 307-318.