SINGLE-PRODUCT DYNAMIC MODEL OF REPLACING PRODUCTION ASSETS
Table of contents
Share
Metrics
SINGLE-PRODUCT DYNAMIC MODEL OF REPLACING PRODUCTION ASSETS
Annotation
PII
S111111110000107-0-1
DOI
10.33276/S0000107-0-1
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Svetlana Borisova 
Occupation: Senior researcher
Affiliation: CEMI RAS
Address: Russian Federation, Moscow, Nachimovky prospect 47
Edition
Abstract
A single-product dynamic model of economy which allows to study the character of optimal terms of production assets functioning. The search for the optimal strategy of assets renewal is carried out using two qualitatively different criteria: the principle of differential optimization and the principle of integral optimization.
Keywords
production assets, optimal trajectory, differential optimization, integral optimization
Received
05.10.2018
Date of publication
13.12.2018
Number of characters
10079
Number of purchasers
4
Views
477
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf

To download PDF you should sign in

1 Успешное функционирование промышленных предприятий определяется во многом эффективностью использования факторов производственной деятельности и в первую очередь основных фондов. Основные производственные фонды требуют систематического обновления, в том числе с учетом новейших технических и научных достижений. С научно-техническим прогрессом связано появление новой важной характеристики производства: сопоставимость времени жизни основных фондов и трудовых ресурсов. Такие модели впервые были введены и исследованы Л.В.Канторовичем [1]. Принципиально новым в модели Канторовича является введение новой функции m(t), являющейся эндогенной переменной модели, – временной границы использования фондов: все фонды, созданные ранее этого момента, в момент t выводятся из производства. Эффективность производства в любой момент времени t определяется производственной функцией Кобба-Дугласа., в которой функция f(t) отражает уровень развития научно-технического прогресса в момент времени t; функция описывает интенсивность ввода капиталовложений, идущих на увеличение фондов и замену выбывающих из производства фондов; функция определяет интенсивность ввода трудовых ресурсов, занятых на создаваемых фондах. Функции f(t) и – абсолютно непрерывные функции, с производной непрерывной справа; – неотрицательная кусочно-непрерывная справа функция. Национальный доход P(t) в каждый момент времени t определяется следующим образом:
2 .(1)
3 В каждый момент времени t задан объем трудовых ресурсов T(t):
4 ;(2)
5 В рамках модели (1)-(2) Л.В.Канторовичем был предложен принцип дифференциальной оптимизации, согласно которому способ вывода устаревших и структура вновь созданных основных фондов являются оптимальными, если они обеспечивают максимальный темп роста национального дохода в каждый момент времени. Для модели (1)-(2) было получено аналитическое решение и исследовано асимптотическое поведение решений при [2].
6 Модель Канторовича позволяет управлять динамикой сворачивания устаревших фондов, предполагая, что срок ввода в производство новых фондов ничтожно мал по сравнению со временем службы фондов. Однако, интенсивный научно-технический прогресс, ведущий к высоким темпам обновления технологий и сопутствующим им расширению, реконструкции и техническому перевооружению действующего производства, ставит вопрос не только о поиске оптимальных сроков службы фондов, но и режимов ввода новых фондов, поскольку в современных высокотехнологических производствах появилась еще одна важная тенденция: продолжительность службы основных фондов сопоставима с периодом их ввода на проектную мощность. Поэтому при моделировании политики обновления основных фондов необходимо также учитывать сроки освоения новых фондов.
7 В модели Канторовича инерционность при вводе новых фондов не учитывается, считается, что вводимые фонды имеют мгновенную отдачу. Кроме того, в модели нет ограничения на скорость процедуры вывода устаревших фондов, т. е. фонды могут быть выведены из производства сколь угодно быстро. Поэтому было предложено развитие модели Канторовича в виде однопродуктовой динамической модели экономики, учитывающей инерционные свойства как выводимых, так и вводимых основных фондов [3]. Для этого в модель введена дополнительная характеристика, определяющая момент запуска новой технологии, полностью осваиваемой к текущему моменту времени.
8 Задача ввода/вывода основных фондов моделируется с помощью функций m(t) – временной границы использования фондов,и a(t) (m(t)a(t)t, m(t)
9 Рассматриваемая экономическая система описывается следующими соотношениями:
10 национальный доход в каждый момент времени
11 ;(3)
12 уравнение баланса активных трудовых ресурсов
13 ;(4)
14 уравнение баланса пассивных трудовых ресурсов
15 ;(5)
16 ограничения на скорость процедуры замещения устаревших фондов и ввода новых
17 ,.(6)
18 Выбор функций определяет стратегию ввода новых, более совершенных фондов и вывода устаревших фондов, т.е функции m(.), a(.),являются управлениями для модели (3)-(6). Поиск оптимальной стратегии обновления фондов осуществляется с использованием двух качественно разных критериев: 1) максимизация темпа роста национального дохода в каждый момент времени (принцип дифференциальной оптимизации); 2) максимизация национального дохода за плановый период времени (принцип интегральной оптимизации).
19 Принцип дифференциальной оптимизации. Задача, определяющая оптимальную (с точки зрения принципа дифференциальной оптимизации) политику ввода/вывода фондов, имеет следующий вид: при заданном начальном состоянии системы: , , , ;;, функции m(.), a(.),при каждом задают решение следующей экстремальной задачи
20 (7)
21 , (8)
22 , (9)
23 , ,. (10)
24

Для задачи (7)-(10) в [3] получено аналитическое решение, доказана теорема существования и единственности решения, описаны все режимы, реализуемые системой, и возможные переходы с режима на режим. Решение представляет собой дифференциальные уравнения относительно переменных m(.)a(.) и уравнение связи относительно переменных m(.), a(.), , которые являются очень сложными для аналитических исследований, в частности, для исследования асимптотического поведения решений. Поэтому был построен алгоритм для численной реализации аналитического решения и проведен ряд экспериментов [4].

25 Анализ полученных численных реализаций решения в зависимости от параметра k, определяющего политику распределения общего объема трудовых ресурсов T(t) на активные и пассивные, показал, что:
26 1) при достаточно больших значениях t траектории, определяющие срок службы фондов m(t) и срок освоения новых фондов a(t), выходят на магистральный режим. При каждом значении параметра k для функций m(t), a(t) имеют место трендовые траектории линейного вида, , i=1,2. При этом вдоль трендовой траектории происходит чередование интервалов освоения новых более совершенных фондов и активного выведения устаревших фондов (с максимально возможной скоростью M);
27 2) при увеличении доли активных трудовых ресурсов (увеличение параметра k) продолжительность периодов освоения и активного выведения устаревших фондов уменьшается;
28 3) увеличение доли активных трудовых ресурсов (увеличение параметра k) ведет к уменьшению сроков службы фондов (t-m(t)) и срока освоения новых фондов (t-a(t));
29 4) увеличение доли активных трудовых ресурсов (увеличение параметра k) ведет к увеличению сроков эксплуатации фондов (a(t)-m(t)).
30 Исследование устойчивости решений относительно начальных данных в общем случае показало, что функции m(t), a(t) устойчивы относительно начальных значений, , , а в случае постоянных трудовых ресурсов, как активных, так и пассивных, имеет место устойчивость и относительно начальной функции, т.е. при больших t значения функций m(t), a(t) не зависят от начальных значений, , и начальной функции.
31 Принцип интегральной оптимизации. В данном случае рассматривается совокупный национальный доход на плановом отрезке времени, определяемый следующим выражением
32 , (11)
33 где, , - параметр, характеризующий потенциальный вклад в национальный доход осваиваемых фондов; функция характеризует снижение эффективности производственных фондов, введенных в производство в момент времени m(t) и полностью выводимых из производства в момент времени t.
34 Тогда задача поиска оптимальной политики вывода старых и ввода новых, более совершенных, фондов на основе принципа интегральной оптимизации имеет следующий вид:
35 (12)
36 при следующих соотношениях:
37 уравнения баланса трудовых ресурсов
38 ;(13)
39 и задано начальное состояние системы
40 , ,,. (14)
41 Для решения оптимизационной задачи (12)-(14) может быть использован принцип максимума Понтрягина. Однако полного аналитического решения в данном случае получить не удается. В связи с этим был построен и исследован дискретный аналог задачи (12)-(14) в зависимости от изменения параметра k для различных значений параметра, характеризующего потенциальный вклад в национальный доход осваиваемых фондов, и различных начальных данных, [4].
42 Численные эксперименты показали, что при достаточно большом T для траекторий m(t), a(t) справедливы следующие выводы:
43 1) при больших t для сроков службы и сроков освоения фондов имеют место трендовые траектории линейного вида с постоянным запаздыванием;
44 2) для вдоль трендовых траекторий происходит чередование интервалов освоения новых более совершенных фондов и активного выведения старых фондов, причем с увеличением доли активных трудовых ресурсов k продолжительность интервалов освоения новых фондов и активного выведения старых фондов сокращаются;
45 3) с увеличением доли активных трудовых ресурсов k сроки службы и освоения новых фондов (t-m(t) и t-a(t) соответственно) уменьшаются;
46 4) с увеличением доли активных трудовых ресурсов k срок эксплуатации фондов (a(t) – m(t)) увеличивается.
47 Имеет место устойчивость функций m(t), a(t) только относительно начального значения при 0.9
48 Для принципа интегральной оптимизации рассматривался случай, когда задается только общий объем трудовых ресурсов (без разделения на активные и пассивные трудовые ресурсы). Такая постановка позволила проанализировать, способна ли система самостоятельно осуществлять разделение трудовых ресурсов на активные и пассивные, и насколько эффективно (с точки зрения получаемого национального дохода). Оказалось, что модель без принудительного разделения трудовых ресурсов на активные и пассивные дает более высокий результат, что естественно, поскольку в этом случае у системы имеется более широкий выбор для оптимизации своего функционирования. Таким образом, встает вопрос о необходимости разработки отдельных механизмов перераспределения трудовых ресурсов внутри системы. Кроме того, следует учитывать и тот факт, что для вводимых фондов, связанных с введением новой, более совершенной, технологии, требуются и более квалифицированных трудовые ресурсы, чем те, что высвобождаются с выводимых фондов.

References

1. Kantorovich L.V., Gor'kov L.I. Funktsional'nye uravneniya odnoproduktovoj modeli/ Dokl. AN SSSR. 1959. 129. №4. s.732.

2. Kantorovich L.V., Zhiyanov V.I., Khovanskij A.G. Printsip differentsial'noj optimizatsii v primenenii k odnoproduktovoj dinamicheskoj modeli ehkonomiki// Sibirsk. matem. zh. 1978. T.XIX. №5. s. 1053-1064.

3. Beklaryan L.A., Borisova S.V. Ob odnoj dinamicheskoj modeli zamescheniya proizvodstvennykh moschnostej// Ehkonomika i matem. metody. 2002. T. 38. №3. s. 73-93.

4. Beklaryan L.A., Borisova S.V., Khachatryan N.K. Odnoproduktovaya dinamicheskaya model' zamescheniya proizvodstvennykh fondov. Magistral'nye svojstva // Zh. vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 2012. T 52. №5. s. 801-817.