Dynamic transportation models
Table of contents
Share
Metrics
Dynamic transportation models
Annotation
PII
S111111110000106-9-1
DOI
10.33276/S0000106-9-1
Publication type
Article
Status
Published
Authors
Nerses Khachatryan 
Occupation: Leading researcher
Affiliation: CEMI RAS
Address: Russian Federation, Moscow, Nachimovky prospect 47
Edition
Abstract
Dynamic models describing the process of cargo transportation implemented within the framework of a number of technologies are presented. For such models are described modes of transportation, satisfying a given control system. Such modes are described by solutions of traveling wave type and two types of their extensions. One type of expansion involves the assumption of discontinuous solutions, the second type allows violations in a small control system.
Keywords
mathematical modeling of cargo transportation process, modes of transportation, differential equations, solutions of traveling wave type, quasi-solutions of traveling wave type.
Received
05.10.2018
Date of publication
13.12.2018
Number of characters
8123
Number of purchasers
4
Views
518
Readers community rating
0.0 (0 votes)
Cite Download pdf

To download PDF you should sign in

1 Изучается процесс организации железнодорожных грузоперевозок на протяженном участке пути с большим количеством промежуточных станций и расположенных между ними перегонных путей для временного хранения части грузов. Для обеспечения бесперебойного движения грузопотока используются две технологии, единые для всех станций. Первая технология основана на процедуре взаимодействия соседних станций и формируется по следующему правилу: каждая из станций должна отправить груз на следующую станцию, если количество задействованных узлов (платформ) на ней больше чем на следующей станции. При этом интенсивность отправки грузов пропорциональна разности чисел задействованных узлов на этих станциях. Вторая технология использует технические возможности самой станции и основана на взаимодействии станции с соседними перегонными путями. Максимальное количество задействованных узлов на станциях, при котором функционирует режим наращивания числа узлов за счет грузов с перегонного пути, обозначим через . В рамках второй технологии, произвольная станция принимает груз с предыдущего перегонного пути, если число задействованных узлов на ней меньше , и отправляет груз на последующий перегонный путь, если число задействованных узлов на ней больше . Для грузоперевозок используется простая система контроля, состоящая в измерении объемов перевозимых грузов на соседних станциях с единым лагом времени. Представлены несколько вариантов модели.
2 Первый вариант модели описывает транснациональные транспортные грузоперевозки. Такие перевозки характеризуются очень большим количеством промежуточных станций (транссибирская магистраль), их динамика задается бесконечномерной системой дифференциальных уравнений
3 (1)
4 а система контроля - нелокальными линейными ограничениями
5 .(2)
6 Здесь zi(t) - число задействованных узлов на станции с номером i в момент времени t. Функция определяют скорость изменения числа задействованных узлов на станциях в рамках второй технологии. Она обладает следующими свойствами: на полупрямой она тождественно равна 0, на интервале (0,zopt) является возрастающей, в точке zopt принимает максимальное значение, на полупрямой является убывающей, в точке принимает нулевое значение, а на полупрямой является линейной. Параметр характеризует нормативные правила взаимодействия соседних станций, а параметр - систему контроля.
7 Основной задачей является поиск режимов грузоперевозок, осуществляемых с помощью указанных выше технологий, а также диапазона изменения характеристики системы контроля на предмет ее актуальности. Слишком малые значения неактуальны, так как они значительно меньше времени перегона грузов со станции под номером i на станцию под номером i+1. Слишком большие значения также неактуальны, так как они не соизмеримы с временными лагами реальных процессов (пример перегона партии тракторов из Волгограда в Хабаровск за 10 лет в СССР).
8 Определение 1. Семейство абсолютно-непрерывных функций, определенных на, называется решением системы дифференциальных уравнений (1), если при почти всех функции zi(.)удовлетворяют этой системе. ■
9 Доказано существование такого, что для всякого система (1)-(2) с фиксированным начальным значением в начальный момент времени имеет единственное решение [1]. С содержательной точки зрения данная теорема утверждает о наличии определенного диапазона изменения характеристики системы контроля, такого, что для каждого значения характеристики системы контроля из указанного диапазона существует режим грузоперевозок осуществляемых с помощью указанных выше технологий и удовлетворяющих заданной системой контроля. Такой режим является единственным.
10 Система (1)-(2) имеет два стационарных решения:,. Доказано, что стационарное решение является устойчивым [1]. Таким образом, транснациональные грузоперевозки имеют стационарный режим, в котором потенциал всех станций максимально используется.
11

Второй вариант модели является частным случаем варианта, описанного выше, а именно, движение по круговой цепочке станций. Он задается следующей системой

 

      (3)

12

,      (4)

13

.      (5)

14 В рассматриваемой модели круговая цепочка состоит из n станций. Доказано [2], что если система (3)-(5) имеет решение, то оно будет периодическим с периодом. Как оказалось, единственным таким решением является стационарное решение, которое является глобально устойчивым для системы (3)-(4).
15 Третий вариант модели описывает движение грузопотока между двумя узловыми станциями и описывается следующей системой
16

      (6)

17

      (7)

18

      (8)

19

,      (9)

20 Функции и определяют, соответственно, интенсивность подачи грузов на начальную узловую станцию и интенсивность распределения грузов с конечной узловой станции. Функция определяют скорость изменения числа задействованных узлов на начальной узловой станции, и обладает следующими свойствами: на полупрямой тождественно равна 0, а на полупрямой является линейно убывающей. Класс решений системы (6)-(9), в силу неоднородности системы функционирования задействованных узлов, является чрезвычайно узким. Это приводит к необходимости правильного расширения класса решений системы (6)-(9) до класса «квазирешений». Рассматривается два типа такого расширения. Один тип расширения предполагает допущение разрывных решений, второй тип допускает нарушения в малом системы контроля (условие (9)).
21 Определение 2. Семейство кусочно абсолютно непрерывных функций, определенных на, называется квазирешением системы (6)-(9) первого типа с характеристикой, если при почти всех функции zi(.) удовлетворяют системе (6)-(9) с возможными разрывами в точках
22 Доказано существование такого, что для всякого система (6)-(9) с фиксированным начальным значением в начальный момент времени имеет единственное «квазирешение» первого типа [1]. С содержательной точки зрения данная теорема также утверждает о наличии режима грузоперевозок. Однако в отличие от первого варианта модели, этот режим грузоперевозок в силу разрывности решения допускает скачкообразное изменение числа задействованных узлов на станциях в моменты времени, кратные характеристике системы контроля. Исследована зависимость квазирешений системы (6)-(9) первого типа и, в частности, величин разрывов (скачков) решений от ряда параметров модели, характеризующих правило контроля, технологии перевозки грузов и интенсивности подачи грузов на узловую станцию [3].
23 Второй тип расширения системы (6)-(9) до класса «квазирешений», допускающий нарушения в малом системы контроля (условие (9)), имеет следующий вид.
24

Определение 3. Семейство абсолютно непрерывных функций, определенных на, называется - квазирешением системы (6)-(9) второго типа с характеристикой, если при почти всех функции zi(.) удовлетворяют системе (6)-(8) и выполняется условие

 

.      (10)

25 Доказана теорема об ограниченности решений системы дифференциальных уравнений (6)-(8) [4]. C помощью численных методов исследована зависимость решений системы дифференциальных уравнений (6)-(8) от параметров модели, в частности, от параметра . Показано, что для произвольной характеристики и любого найдется минимальное, при котором выполняется условие существования «квазирешения» второго типа. Функция монотонно убывающая и. Напомним, что параметр определяет интенсивность взаимодействия между станциями и ограничен инфраструктурными возможностями. Таким образом, улучшая инфраструктуру станций, можно организовать контролируемый грузопоток, осуществляемый с помощью указанных выше технологий, для которого погрешность в системе контроля будет приемлемой.

References

1. L.A. Beklaryan, N.K. Khachatryan. Traveling wave type solutions in dynamic transport models // Functional differential equations. 2006. V. 13, №12. P. 125-155.

2. L.A. Beklaryan, N.K. Khachatryan. Ob odnom klasse dinamicheskikh modelej gruzoperevozok // Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki. 2013. T.53, № 10. C. 1649–1667.

3. Khachatryan N.K, Akopov A.S. Model for organizing cargo transportation with an initial station of departure and a final station of cargo distribution // Business Informatics. 2017. No.1. P. 25-35.

4. Khachatryan N.K, Akopov A.S., Belousov F.A.About quasi-solutions of traveling wave type in models for organizing cargo transportation // Business Informatics, 2018, no. 1 (43), pp. 61–70.