Условная логнормальная модель бескупонной облигации
Условная логнормальная модель бескупонной облигации
Аннотация
Код статьи
S111111110000101-4-1
DOI
10.33276/S0000101-4-1
Тип публикации
Статья
Статус публикации
Опубликовано
Авторы
Богомолов Ростислав Олегович 
Должность: Младший научный сотрудник
Аффилиация: Центральный экономико-математический институт РАН
Адрес: Российская Федерация, Москва, Нахимовский проспект, 47
Выпуск
Аннотация
Доклад посвящен построению стохастической модели, описывающей эволюцию стоимости бескупонной облигации в дискретном времени. В качестве базовой последовательности использовано гауссовское случайное блуждание. Показано, что при условии наблюдения не только предыдущих значений блуждания, но и его состояния в последний момент времени оно является марковской. Основываясь на этих фактах, в статье описана стохастическая модель бескупонной облигации. Для предложенной модели облигации найдены явный вид ее волатильности, временной структуры процентных ставок.
Ключевые слова
модель бескупонной облигации, гауссовское случайное блуждание, доходность, фильтрация, дисконтирующая последовательность
Классификатор
Получено
03.10.2018
Дата публикации
13.12.2018
Кол-во символов
3331
Всего подписок
5
Всего просмотров
610
Оценка читателей
0.0 (0 голосов)
Цитировать Скачать pdf

Для скачивания PDF необходимо авторизоваться

1
  1. Введение. Доклад посвящен построению условной логнормальной модели бескупонной облигации, описывающей эволюцию её стоимости в дискретном времени.
2 К настоящему моменту времени предложено большое количество математических моделей бескупонных облигаций с непрерывным временем. Их подробное описание содержится в [1].
3 Описание различных моделей бескупонных облигаций в дискретном времени можно найти в [2-5]
4 В отличии от выше указанных работ, в основе доклада лежит соображение о том, что наблюдению доступны в каждый момент времени не только значение цены облигации, но и её номинал.
5

2. Расширенная фильтрация. Представление гауссовского случайного блуждания относительно расширенной фильтрации. Пусть на стохастическом базисе, где , задана согласованная, гауссовская марковская последовательность.

6

(1)

7 где, , H0 - гауссовская случайная величина, - гауссовская последовательность, - независимые одинаково распределенные случайны величины, причём.
8 Без ограничения общности можно считать, что. Обозначим,.
9 Очевидно, что семейство - алгебр является фильтрацией. является расширением фильтрации Ft. Ясно, что Ht - и - измеримо.
10 Обозначим и - условные вероятности относительно - алгебр и, где B - борелевское множество, , а и. Почти очевидно следующее утверждение.
11 Утверждение 1. P-п.н. Из утверждения 1 следует, что последовательность относительно фильтрации обладает марковским свойством.
12 Из теоремы о нормальной корреляции [6] следует, что условная вероятность имеет гауссовское распределение, т.е, где - условное математическое ожидание, а - условная дисперсия.
13 Следующее утверждение устанавливает их явный вид.
14 Утверждение 2. Пусть t=0. Тогда справедливы следующие утверждения
15

16

;

существует последовательность независимых случайных величин с такие, что для любого

17 допускает представление
18

(2)

19 Замечание. Очевидно, что:
20

, ,

21

22

3. Основываясь на утверждении 2 легко описать математическую модель бескупонной облигации и установить её свойства. Для этого достаточно положить Ht=ln St. Тогда из следует, что для St допускает представление

23

(3)

24 Параметрам, фигурирующим в можно придать следующий смысл: ST - это номинал облигации. S0 - её начальная стоимость, а T - момент её погашения. - эволюция изменчивости стоимости облигации, причём - константа.
25 С помощью можно установить явный вид доходности облигации к погашению, обозначаемой через Yt,.
26 Известно [7], что
27

(4)

28 Тогда с учётом примет вид
29

30 Следовательно, ожидаемое значение доходности E (Yt | S0, SN) будет иметь вид
31

32

4. В этом пункте приводим вид дисконтирующей последовательности, относительно которой рассматриваемый рынок является эффективным [2]. Пусть - последовательность, которая допускает представление

33 .
34 Очевидно, что для любого случайная величина dt - - измерима. Тогда отношение допускает представление
35

36 Стало быть, поскольку

Библиография

1. Andersen L.B.G, Piterbarg V.V Interest Rate modeling - Atlantic Financial Press, 2010. - V. 1-3.

2. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. - Москва : Фазис, 2004. - Т. 1.

3. Панджер Х.  и др.: Финансовая экономика  - Москва : Янус, 2005.

4. Медведев Г. А. Математические модели финансовых рисков. - 2003. - Т 1.

5. Ho T.S.Y., Lee S.  Term structure Movement and Pricing Interest Rate Contingent Claims: Journal of Finance, 1986. - Vol. 41 : pp. 1011-1029

6. Ширяев А. Н. Вероятность . - Москва : Наука, 1989.

7. Халл Д. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты : Вильямс, 2008.